Poisson 的拟合优度检验 的方法和公式

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估计的均值

公式

Poisson 分布的均值按如下方式估计:

计算

数据
2  2  3  3  2  4  4  2  1  1  1  4  4  3  0  4  3  2 
3  3  4  1  3  1  4  3  2  2  1  2  0  2  3  2  3
类别 (i) 观测值 (Oi) 估计的均值 Poisson 概率 (pi)
0 2 0 * 2 = 0 p0 = e-2.4 = 0.090718
1 6 1 * 6 = 6 p1 = e-2.4 * 2.4 = 0.217723
2 10 2 * 10 = 20 p2 = e-2.4 * (2.4)2/ 2! = 0.261268
3 10 3 * 10 = 30 p3 = e-2.4 * (2.4)3/ 3! = 0.209014
7 4 * 7 = 28 p4 = 1 - (p0 + p1 +p2 + p3) = 0.221267

N = 35

Σ (i * Oi) = 84

估计的均值 =

表示法

说明
N所有观测值的和 (O0 + O1 + ...+ Ok)
k(类别的数量) - 1
Oii 个类别中观测到的事件数
piPoisson 概率

类别数

Minitab 使用下面的迭代方法确定类别:

定义第一个类别

假设 pi = P(X xi )

假设 i = 1:如果 N*pi 2,则第一个类别定义为“ x 1”。如果 N*pi < 2,则按 1 递增 i 并重复:如果 N*p 2 2,则第一个类别定义为“ x 2”。如果 N*pi < 2,则按 1 递增 i 并重复,直到 N*pi 2。当最先满足此条件时或者当 xi 是第三大数据值时停止迭代,并将第一个类别定义为“ xi ”。如果第一个类别的值为零,则将第一个类别定义为不带“小于或等于”符号的“0”。与第一个类别相关联的概率和预期值分别是 piN*pi。第一个类别的观测值为 xi 的所有数据值的个数。

定义最后一个类别

从概念上,定义最后一个类别与定义第一个类别相似,但 Minitab 将从最大的数据值开始向后计算。

最后一个类别是“ xj”,其中 xj 是大于 (1 + 第一个类别的数据值) 的最大数据值,因此该类别具有大于 2 的预期值。最后一个类别的概率和预期值分别为 pjN*pj,观测值为 xj 的数据值的个数。

定义中间类别

在确定第一个类别和最后一个类别之后,Minitab 确定它们之间的类别。假设“X k”为第一个类别,“X m”为最后一个类别。如果 (k, m) 之间的所有整数具有 2 的预期值,则它们均构成中间类别。如果相反,Minitab 将使用递归循环将多个相邻的整数组合到预期值 2 的类别中。在某些情况下(例如,数据集内只有很少的观测值),类别的预期值将小于 2。

表示法

说明
N 观测值总数
xi 数据集内的第 i 个值(按从小到大排序)
pi Poisson 概率

Poisson 概率

公式

i 个类别的 Poisson 概率 (i < k) 为

最后一个类别的 Poisson 概率,其中 i = k

pi = 1 – (p0 + p1 + ...+ pk-1)

表示法

说明
k 类别的数量
λ 样本中的估计均值

预期值

公式

i 个类别中预期的观测值个数为 N * pi

表示法

说明
N 样本数量
pi 与第 i 个类别相关联的 Poisson 概率

对卡方的贡献

公式

I个类别对卡方值的贡献等于

表示法

说明
OI I 个类别中观测到的观测值个数
EI I 个类别中预期的观测值个数

检验统计量

公式

卡方拟合优度检验统计量等于

表示法

说明
k (类别的数量) - 1
Oi i 个类别中观测到的观测值个数
Ei i 个类别中预期的观测值个数

P 值和自由度

P 值为:

概率(X > 检验统计量)

其中,如果您使用 MEAN 子命令,X 将服从自由度为 k - 1 的卡方分布;如果您不使用 MEAN 子命令,则将服从自由度为 k- 2 的卡方分布。

计算

数据
2  2  3  3  2  4  4  2  1  1  1  4  4  3  0  4  3  2 
3  3  4  1  3  1  4  3  2  2  1  2  0  2  3  2  3
类别 (i) 观测值 (Oi) 估计的均值 Poisson 概率 (pi)
0 2 0 * 2 = 0 p0 = e -2.4 = 0.090718
1 6 1 * 6 = 6 p1 = e -2.4 * 2.4 = 0.217723
2 10 2 * 10 = 20 p2 = e -2.4 * (2.4)2/ 2! = 0.261268
3 10 3 * 10 = 30 p3 = e -2.4 * (2.4)3/ 3! = 0.209014
7 4 * 7 = 28 p4 = 1 - (p0 + p1 +p2 + p3 ) = 0.221267

= (0.43492 + 0.344527 + 0.080058 + 0.985114 + 0.071545) = 1.91622

k = 5= 类别数

DF = 5- 2 = 3

p 值 = P (X > 1.91622) = 0.590

表示法

说明
k 类别的数量
Oi i 个类别中观测到的观测值个数。
Ei i 个类别中预期的观测值个数。
卡方拟合优度检验统计量
自由度自由度
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