单样本 Poisson 率 的方法和公式

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统计量

Minitab 根据样本生成下面的描述性统计量。只有在将“长度”改为默认值 1 以外的值时,Minitab 才显示均值。
说明
发生率
平均发生次数

发生率等于每单位的观测值长度的平均发生次数。均值是整个样本中的平均发生次数。如果长度等于 1,则发生率等于均值。

精确检验的 p 值

公式

单样本 Poisson 率 的精确检验使用下面的等式为各自的备择假设计算 p 值:
  • H1λ > λ0:p 值 = P(Ss | λ = λ0),其中 S 服从均值为 0t 的 Poisson 分布。
  • H1λ < λ0:p 值 = P(Ss | λ = λ0),其中 S 服从均值为 0t 的 Poisson 分布。
  • H1λλ0:Minitab 使用似然比检验,如下所示:
    定义函数 G(s),该函数用 s(Poisson 过程中的总发生次数)表示似然比检验:
    • 如果 0 ≤ s < 0t,则通过等式 G(y) = G(s) 对区间 (0t, enλ0t] 中的 y 求解;

      p 值 = P(Ss | λ = λ0) + P(Sy | λ = λ0)

    • 如果 s = 0t,则

      p 值 = 1.00

    • 如果 0t < senλ0t,则通过等式 G(y) = G(s) 对区间 [0, 0t) 中的 y 求解;

      p 值 = P(Sy | λ = λ0) + P(Ss | λ = λ0)

    • 如果 s > enλ0t,则检验是单侧的,且

      p 值 = P(Ss | λ = λ0)

    其中,S 服从均值为 0t 的 Poisson 分布。

表示法

说明
sPoisson 过程中的总发生次数
t观测值的“长度”
λ0总体率参数的假设值
λ总体率参数的实际值
n样本数量
e大约 2.71828

精确检验的置信区间和置信界限

置信区间

Poisson 过程发生率的精确 100(1 – α)% 置信区间的计算公式如下:

在指定“长度”的值时,Minitab 还显示平均发生次数的置信区间。该置信区间的计算公式如下:

置信界限

如果您指定单侧检验,Minitab 会根据备择假设的方向计算单侧 100(1 – α)% 置信界限。

  • 如果您指定“大于”备择假设,则率的精确 100(1 – α)% 下限的计算公式如下:

    均值的精确 100(1 – α)% 下限的计算公式如下:

  • 如果您指定“小于”备择假设,则率的精确 100(1 – α)% 上限的计算公式如下:

    均值的精确 100(1 – α)% 上限的计算公式如下:

表示法

说明
sPoisson 过程中的总发生次数
t观测值的“长度”
λ总体率的实际值
μ总体均值的实际值
Χ2(p, x)自由度为 P 的 Χ2 分布的 x 百分位点上限,其中 0 < x < 1。
α100(1–α)% 置信区间的 alpha 水平
n样本数量

正态近似的 p 值

当总发生次数大于 10 时,正态近似有效。

公式

基于 单样本 Poisson 率 的正态近似的假设检验将下面的 p 值等式用于各自的备择假设:

表示法

说明
Z
t 观测值的“长度”
λ 0 总体率参数的假设值
λ 总体率参数的实际值
样本率统计量的观测值
n 样本数量

正态近似的置信区间和置信界限

置信区间

Poisson 过程发生率的 100(1 – α)% 置信区间基于正态近似,按如下公式计算:

在指定“长度”的值时,Minitab 还显示平均发生次数的置信区间。该置信区间的计算公式如下:

置信界限

如果您指定单侧检验,Minitab 会根据备择假设的方向计算单侧 100(1 – α)% 置信界限。
  • 如果您指定“大于”备择假设,则率的精确 100(1 – α)% 下限的计算公式如下:

    如果您指定“长度”的值,则均值的精确 100(1-α)% 下限的计算公式如下:

  • 如果您指定“小于”备择假设,则率的精确 100(1 – α)% 上限的计算公式如下:

    如果您指定“长度”的值,则均值的精确 100(1 – α)% 上限的计算公式如下:

表示法

说明
sPoisson 过程中的总发生次数
t观测值的“长度”
λ总体率的实际值
μ总体均值的实际值
Zx标准正态分布的 x 百分位点上限,其中 0 < x < 1。
α100(1–α)% 置信区间的 alpha 水平
样本中的平均发生次数
n样本数量
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