个体分布标识中概率图的方法和公式

概率图

概率图包括:

  • 一些点,它们是顺序数据集的对应概率的估计百分位数。
  • 中线,它们是基于极大似然参数估计值的分布的预期百分位数。如果分布提供对数据的良好拟合,这些点将沿中线分布。

估计的概率

Minitab 使用下列方法估计用来计算标绘点的概率 (P)。

  • 中位数等级(Benard 方法)
  • 均值等级(Herd-Johnson 估计值)
  • 修正后 Kaplan-Meier (Hazen)
  • Kaplan-Meier 乘积限估计值

表示法

说明
n观测值个数
ii第 i 个顺序观测值 x(i) 的等级,其中 x(1)、x(2)、...x(n) 是顺序统计量,或者按照从最小到最大排序的数据。

标绘点

概率图中间线是使用该表中的 x 和 y 坐标计算值构造的。

分布 x 坐标 y 坐标
最小极值 x ln(–ln(1 – p))
最大极值 x ln(–ln p)
Weibull ln(x) ln(–ln(1 – p))
3 参数 Weibull ln(x – 阈值) ln(–ln(1 – p))
指数 ln(x) ln(–ln(1 – p))
2 参数指数 ln(x – 阈值) ln(–ln(1 – p))
正态 x Φ–1norm
对数正态 ln(x) Φ–1norm
3 参数对数正态 ln(x – 阈值) Φ–1norm
Logistic x
对数 Logistic ln(x)
3 参数对数 Logistic ln(x – 阈值)
Gamma x Φ–1gamma
3 参数 Gamma ln(x – 阈值) Φ–1gamma
注意

由于标绘点并不依赖于任何分布,因此它们对于任意概率图都是一样的(变换前)。但是,拟合线会因所选参数分布的不同而不同。

表示法

说明
p估计的概率
Φ-1norm标准正态分布的逆 CDF 为 p 返回的值
Φ-1gamma不完全 gamma 分布的逆 CDF 为 p 返回的值
ln(x)x 的自然对数

百分位数和百分位数的标准误

百分位数是尺度为 100 的值,表示等于或低于该值的分布的百分比。默认情况下,Minitab 显示百分位表以供对常见百分位数进行参数分布分析。

百分位数的标准误是方差的平方根。

表示 μ、σ、α、β、λ 和 θ(从 Fisher 信息矩阵的逆矩阵的相应单元提取)的 MLE 的方差和协方差。

用于百分位数和方差估计值的公式如下所示:

最小极值分布

百分位数
方差

其中 zp = ln[–ln(1 – p)],即最小极值分布的逆 CDF

最大极值分布

百分位数
方差

其中,zp = ln[–-ln(p)],即最大极值分布的逆 CDF

Weibull 分布

百分位数
方差

其中 zp = ln[–ln(1 – p)],即最小极值分布的逆 CDF

3 参数 Weibull 分布

百分位数
方差

其中 zp = ln[–ln(1 – p)],即最小极值分布的逆 CDF

指数分布

百分位数
方差

2 参数指数分布

百分位数
方差

正态分布

百分位数
方差

其中,zp = 正态分布的逆 CDF

对数正态分布

百分位数
方差

其中,zp = 正态分布的逆 CDF

3 参数对数正态分布

百分位数
方差

其中,zp = 正态分布的逆 CDF

Logistic 分布

百分位数
方差

其中,zp = ln[p/(1 – p)],即 Logistic 分布的逆 CDF

对数 Logistic 分布

百分位数
方差

其中,zp = ln[p/(1 – p)],即 Logistic 分布的逆 CDF

3 参数对数 Logistic 分布

百分位数
方差

其中,zp = ln[p/(1 – p)],即 Logistic 分布的逆 CDF

Gamma 分布

百分位数
方差

其中, 是规范化不完全 Gamma 分布的逆分布

3 参数 Gamma 分布

百分位数
方差

其中, 是规范化不完全 Gamma 分布的逆分布

百分位数的置信限

分布 置信限
最小极值
最大极值
正态
Logistic
Weibull
指数
对数正态
对数 Logistic
3 参数 Weibull
如果 λ < 0:
如果 λ ≥ 0:
2 参数指数
如果 λ < 0:
如果 λ ≥ 0:
3 参数对数正态
如果 λ < 0:
如果 λ ≥ 0:
3 参数对数 Logistic
如果 λ < 0:
如果 λ ≥ 0:

表示法

说明
Kγ标准正态分布的第 (1 + γ) / 2 个百分位数
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