用于估计 Xbar 控制图 的西格玛的方法和公式

过程标准差也称为西格玛(或 σ)。如果您输入西格玛历史值,Minitab 将使用此历史值。否则,Minitab 将使用下列方法之一从数据中估计西格玛。

Rbar 方法

Minitab 使用每个子组的极差 计算 ,它是 σ 的无偏估计量:

其中

当子组大小固定时,公式简化为以下所示:

其中,(Rbar) 是子组极差的均值,其计算方式如下:

表示法

说明
ri子组 i 的极差
m子组数
d2(·)与括号中指定的值相对应的无偏常量 d2 值。
ni子组 i 中的观测值个数
d3(·)与括号中指定的值相对应的无偏常量 d3 值。

Sbar 方法

不使用无偏常量

如果不使用无偏常量,则 Sbar 是子组标准差的均值:

使用无偏常量

如果使用无偏常量 c4(ni),则 Sbar 的计算方式如下:

当子组大小固定时,Sbar 为:

表示法

说明
c4 (ni)与括号中指定的值相对应的无偏常量 c4 值。
Si子组 i 的标准差
m子组数

合并标准差方法

合并标准差 (Sp) 按以下公式计算:

当子组大小固定时,可按以下方式计算 Sp

使用无偏常量

默认情况下,当您使用合并标准差估计 σ 时,Minitab 将应用无偏常量 c4():

当子组大小固定时,可按以下方式计算无偏倚的 Sp

表示法

说明
xiji 个子组中的第 j 个观测值
子组 i 的均值
ni子组 i 中的观测值个数
μv子组方差的均值
c4(·)与括号中指定的值相对应的无偏常量 c4 值。
dSp 的自由度,按以下公式计算:

无偏常量 d2()、d3() 和 d4()

d2(N) 是正态总体分布(标准差 = 1)中 N 观测值的预期值。因此,如果 r 是正态分布(标准差 = σ)中 N 观测值的样本的极差,则 E(r) = d2(N)σ

d3(N) 是正态分布(σ = 1)中 N 观测值的极差的标准差。因此,如果 r 是正态分布(标准差= σ)中 N 观测值的样本的极差,则 stdev(r) = d3(N)σ

可使用下表查找给定值 N 的无偏常量(要确定 N 的值,请参考相关统计量的公式。)

对于从 51 到 100 的 N 值,请使用 d2(N) 的以下近似值:
对于从 26 到 100 的 N 值,请使用 d3(N) 和 d4(N) 的以下近似值:
有关这些常量的详细信息,请参阅以下内容:
  • D. J. Wheeler 和 D. S. Chambers(1992 年)。Understanding Statistical Process Control(了解统计过程控制)(第二版),SPC Press, Inc.
  • H. Leon Harter(1960 年)。“Tables of Range and Studentized Range”(极差和学生化极差的表格)。The Annals of Mathematical Statistics(数理统计年鉴),第 31 卷,第 4 期,Institute of Mathematical Statistics,第 1122 到 1147 页。
表 1. 值表格
N d2(N) d3(N) d4(N)
2 1.128 0.8525 0.954
3 1.693 0.8884 1.588
4 2.059 0.8798 1.978
5 2.326 0.8641 2.257
6 2.534 0.848 2.472
7 2.704 0.8332 2.645
8 2.847 0.8198 2.791
9 2.97 0.8078 2.915
10 3.078 0.7971 3.024
11 3.173 0.7873 3.121
12 3.258 0.7785 3.207
13 3.336 0.7704 3.285
14 3.407 0.763 3.356
15 3.472 0.7562 3.422
16 3.532 0.7499 3.482
17 3.588 0.7441 3.538
18 3.64 0.7386 3.591
19 3.689 0.7335 3.64
20 3.735 0.7287 3.686
21 3.778 0.7242 3.73
22 3.819 0.7199 3.771
23 3.858 0.7159 3.811
24 3.895 0.7121 3.847
25 3.931 0.7084 3.883
N d2(N)
26 3.964
27 3.997
28 4.027
29 4.057
30 4.086
31 4.113
32 4.139
33 4.165
34 4.189
35 4.213
36 4.236
37 4.259
38 4.28
39 4.301
40 4.322
41 4.341
42 4.361
43 4.379
44 4.398
45 4.415
46 4.433
47 4.45
48 4.466
49 4.482
50 4.498

无偏常量 c4() 和 c5()

c4()

c5()

表示法

说明
Γ()Gamma 函数
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