T² 控制图 的方法和公式

请选择您所选的方法或公式。

标绘点

子组中的数据

当数据位于子组中时,T2 的计算方式如下:

其中:

的均值向量(xjk 值的均值),其计算方式如下:

S = 样本协方差矩阵

样本协方差矩阵 S 的计算方式如下:

其中:

其中:

是第 k 个样本中第 j 个特征的样本方差,其计算方式如下:

其中:

其中:

是协方差,=

S 矩阵的平均值是当过程受控制时方差的无偏估计值。n 必须大于 p,并且变量之间不得有强关联,以便样本协方差矩阵不是奇异阵。

单个观测值

当数据是单值观测值时,T2 按如下方式计算:

其中:

其中:

表示法

说明
n样本数量
样本均值向量
xijkk 个样本中第 j 个特征上的第 i 个观测值
m样本数

T2 的计算示例

Minitab 在控制图上标绘 T2 统计量。如果标绘点超出控制限,则过程在该点不受控制。有关 Minitab 计算的参考,请参见相关表格和样本方程。

下面的数据来自一个清洁液开发过程。柠檬酸钠和甘油的含量将影响清洁液的效力。

  子组均值 方差和协方差 T2 统计量
子组 柠檬酸钠 (X1) 甘油 (X2) S 1 2 S2 2 S 1 2 k T2
1 125 025 7292 8692 5791 5708
2 625 4 2292 2333 3333 1429
3 4 875 1467 0625 8000 9528
4 2 2 2933 7600 6667 8073
5 25 225 2500 2692 7917 7548
6 4 45 6667 9567 3333 2711
7 275 025 3692 4692 7108 7785
8 6 65 4333 7700 6933 6183
9 625 325 7892 5558 1325 3592
10 3 5 2867 9467 2600 4942
11 25 5 1767 1200 9000 3279
12 1 625 1467 1692 4033 0277
平均值 7875 2333 7931 9318 3003  
  1. 为每个变量(X1X2)计算子组均值。在这种情况下,每个子组都有四个样本。
  2. 如果有单个观测值,Minitab 会在所有计算中使用这些值来取代子组均值。
  3. 计算子组方差 S1 2 和 S2 2.
  4. 计算子组协方差 S1 2 k.
  5. 计算子组均值的均值、子组方差的均值和协方差的均值。
  6. 指定样本协方差矩阵 S 和均值向量。
  7. 计算 T2,其计算方式如下:

Minitab 在 T2 控制图上标绘 T2,并将它与控制限相比较以确定单个点是否不受控制。

中心线

T2 控制图的中心线是 KXKX 的计算取决于最大样本数量以及 Minitab 是否根据数据估计协方差矩阵。

子组中的数据

当数据位于子组中时,KX 的计算方式如下:

给定的协方差矩阵
估计的协方差矩阵

单个观测值

当数据是单值观测值时,KX 按如下方式计算:

给定的协方差矩阵
估计的协方差矩阵

其中:

表示法

说明
P变量数
M子组数
N样本数量
分子自由度为 u 分母自由度为 v 的逆累积 F 分布
第一个分布形状参数和第二个分布形状参数分别为 αβ 的逆累积 beta 分布

控制限

子组中的数据

未指定参数时的控制上限为:

指定了参数时的控制上限为:

单个观测值

未指定参数时的控制上限为:

其中:

有关更多信息,请参见 Woodall 等人发表的1

指定了参数时的控制上限为:

表示法

说明
αα固定值为 0.00134989803156746
p特征数
m

对于子组中的数据,如果未指定参数估计值,则 m 是样本的数量。如果您明确提供了参数估计值,则 m 是用来创建协方差矩阵的样本数量。

对于单值数据,m 是观测值的个数。

n每个样本的大小
F指示所使用的是 F 分布
B指示所使用的是 beta 分布

分解的 T 方统计量

分解的 T 方统计量:

其中:

其中:

xi(p − 1) 是分解的均值向量

Sxx 是 S 的 (p – 1) × (p – 1) 主子矩阵

T2p|1,..., p−1 是一个近似值,它因所处的阶段以及您拥有的是子组还是单个观测值而异。

子组中数据的阶段 1:

子组中数据的阶段 2:

单个观测值的阶段 1:

单个观测值的阶段 2:

当您未指定参数估计值时,Minitab 计算阶段 1 的控制限;当您指定了参数估计值时,Minitab 计算阶段 2 的控制限。

有关分解的 T 方统计量的更多信息,请参见 Mason 等人发表的 2

表示法

说明
m样本数
F指示所使用的是 F 分布
B指示所使用的是 beta 分布

Box-Cox 的方法和公式

Box-Cox 公式

如果您使用 Box-Cox 变换,Minitab 根据以下公式变换原始数据值 (Yi):

其中 λ 是变换参数。Minitab 随后创建变换数据值 (Wi) 的控制图。要了解 Minitab 如何为 λ 选择最优值,请转到Box-Cox 变换 的方法和公式

常见的 λ

下表显示一些常用的 λ 值及其变换。
λ 变换
2
0.5
0
−0.5
−1
1 J. H. Woodall 和 W.H. Sullivan (1996)。“A Comparison of Multivariate Control Charts for Individual Observations”(单值观测值的多变量控制图比较),Journal of Quality Technology(质量技术杂志),第 28 卷第 4 期,第 398 到 408 页。
2 R. L. Mason、N. D. Tracy 和 J. C. Young (1995)。“Decomposition of T2 for Multivariate Control Chart Interpretation”(多变量控制图解释的 T 方分解),Journal of Quality Technology(质量技术杂志),第 27 期,4 月,第 99 到 108 页。
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