使用最小极值分布对可靠性数据建模

最小极值分布是对同一任意分布中大批随机观测值的最小值的限制分布。当多个相同且独立的过程导致失效而且失效时间由第一个失效过程确定时,最小极值分布十分有用。最小极值分布有时称作最坏或最弱环节。

在可靠性分析中,可以使用最小极值分布回答以下问题:
  • 哪个材料能够承载最大负荷?
  • 预计有多少个项目会在保修期限内出现故障?
  • 对每个部件的不同部分执行多个强度检验时,至少需要多大的力才能使袋子破损?
  • 哪个电缆能够很好地承载 1,000 磅?

最小极值分布通常适合与负荷和强度相关的产品失效。极值分布用来对最小值建模。在使用此分布时,通常不关注用来描述大部分总体的变量分布,而只关注可能会导致失效的极值。换句话说,您要调查某些材料中可能会导致在某个负荷下应力不均匀的瑕疵。因此,材料的强度与瑕疵的效应相关,这会导致强度产生最大程度的下降(最弱环节)。

最小极值分布和 Weibull 分布之间的关系与正态分布和对数正态分布之间的关系相似。具体而言,服从 Weibull 分布的变量的对数底数 e 具有最小极值分布。

尽管存在这样的等同性,但是这些分布并不能在其应用中严格互换。美国国家标准与技术研究院 (NIST) 建议在“其相关变量是许多随机因子(所有这些因子可以是正数也可以是负数)最小值的任何建模应用”中尝试使用最小极值分布。

一个常见的应用是电容器中的电介质分解,其中许多瑕疵都争相构成失效的最终场所。另一个示例是半导体焊线,在正常操作条件下,除非这些焊线受制于极端电气负荷或极低的黏合强度,否则它们通常不会断裂或过热。同样,冷却管具有可向冷却液体提供充分热传递的最小厚度。但是,如果热燃烧气体会通过管道上的任何点燃烧“针孔”,则会发生失效。

示例 1:电线强度

对长度相同的电线样本进行断裂强度检验。将使用最小极值分布对结果进行建模。

示例 2:失效之前的周期数

工程师对铝样品总共施加 300,000 个周期并度量失效之前的周期数。

极值分布的概率密度函数和故障函数

概率密度函数

对于极值分布,概率密度函数通常向左偏斜。

故障函数

最小极值分布的故障函数显示呈指数增长的失效风险。

故障函数表明,最小极值分布适合对在某个期限之后遇到极快磨损的产品的寿命进行建模。这包括浴盆曲线的最后一个阶段(又称为磨损阶段)。
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