随机批次的稳定性研究的方法

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混合模型和对数似然

混合模型的一般形式

混合效应模型包含固定效应和随机效应。混合效应模型的一般形式为:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

表示法

说明
y响应值的 n x 1 向量
X固定效应的 n x p 设计矩阵,pn
Zi模型中第 i 个随机效应的 n x mi 设计矩阵
β未知参数的 p x 1 向量
μiN(0, σ2i) 中的自变量的 mi x 1 向量
εN(0, σ2i) 中的自变量的 n x 1 向量
c模型中的随机效应数

固定模型的特定形式

稳定性研究拟合两个具有一个随机批次因子的模型。最大的模型包含时间、随机批次因子以及时间和批次之间的随机交互作用项。

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ε

最小的模型包含时间和随机批次因子。

y =+ Z1μ1 + ε

响应向量 y 的一般方差-协方差矩阵为:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

其中

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c are called variance components.

通过分解方差,您可以在计算混合模型的对数似然时找到 H(θ) 的表示形式。

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

当批次是随机因子时,通过对受限对数似然函数的相反数进行两次最小化可得出未知参数估计值。求最小值相当于最大化受限对数似然函数。要实现最小化的函数为:

表示法

说明
n观测值个数
pβ 中的参数个数,稳定性研究有 2 个参数
σ2误差方差分量
X设计矩阵 –– 对于固定项、常量和时间
H(θ)In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
In具有 n 个行和列的恒等矩阵
θii 个随机项的方差与误差方差的比率
Zi模型中第 i 个随机效应的已知编码的 n x mi 矩阵
mii 个随机效应的水平数
c模型中的随机效应数
|H(θ)|H(θ) 的行列式
X'X 的转置
H-1(θ)H(θ)

Box-Cox 变换

Box-Cox 变换选择能够最小化残差平方和的 lambda 值(如下所示)。由此生成的变换是 Yλ(当 λ ≠ 0 时)及 ln(Y)(当 λ = 0 时)。当 λ < 0 时,Minitab 还会将变换后响应乘以 −1,以维持未变换响应的顺序。

Minitab 搜索介于 −2 和 2 之间的最优值。此区间以外的值生成的拟合可能较差。

以下是一些常见的变换,其中 Y' 是数据 Y 的变换:

Lambda (λ) 值 变换
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = .5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

随机批次模型选择

模型选择可以确定保质期是否取决于批次以及时间效应是否取决于批次。Minitab 会按顺序考虑以下三个模型:
  1. 时间 + 批次 + 批次*时间(批次的斜率和截距都不相等)
  2. 时间 + 批次(批次的斜率相等,截距不相等)
  3. 时间(批次的斜率和截距都相等)

如果“批次*时间”交互作用项显著,则该分析将拟合第一个模型。如果交互作用项不显著,但批次项在第二个模型中显著,则该分析将拟合第二个模型。否则,该模型将拟合第三个模型。

是否合并批次的检验与包括批次的检验略有不同,尽管这两种检验都取决于卡方分布。检验统计量和 P 值的公式如下所示。

模型 1 和模型 2 之间的检验

差分 = −2L2 − (−2L1)

p = 0.5 * Prob(χ21 > 差分) + 0.5 * Prob(χ22 > 差分)

模型 2 和模型 3 之间的检验

差分 = −2L3 − (−2L2)

p = 0.5 * Prob(χ21 > 差分)

表示法

说明
La模型 a 的对数似然
p检验的 p 值
Prob(χ21> 差分)自由度为 1 的卡方分布中的随机变量的概率大于差分
Prob(χ22> 差分)自由度为 2 的卡方分布中的随机变量的概率大于差分

参考资料

  1. Searle S.R.、Casella G. 和 McCuloch C.E. (1992)。Variance Components(方差分量)
  2. West B.T.、Welch K.B. 和 Galecki A.T. (2007)。Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software(线性混合模型:使用统计软件的实用指南)。
  3. Chow S. (2007)。Statistical Design and Analysis of Stability Studies(稳定性研究的统计设计和分析)。
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