正交回归的方法和公式

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回归方程

测量值误差模型为:

在正交回归中,最佳拟合线就是最小化标绘点与直线之间的加权正交距离的线。如果误差方差比率为 1,则加权距离为 Euclidean 距离。

表示法

说明
Yt观测的响应变量
β0截距
β1斜率
Xt观测的预测变量
xt实际和未观测的预测变量值
et, ut测量值误差;etut 与平均值 0 以及 δe2δu2 的误差方差无关

样本协方差矩阵

让样本均值为 (, ),样本协方差矩阵为:
mZZ 为 2X2 对称矩阵:

表示法

说明
Zt(Yt, Xt)
n样本数量

误差方差

样本协方差矩阵为 2 × 2 矩阵:

如果样本协方差矩阵的元素 mXY 不等于 0,则:

如果 mXY = 0 且 mYY < δmXX

如果 mXY = 0 且 mYY > δmXX,则剩余参数估计值未定义。

表示法

说明
X 的误差方差估计值
Y 的误差方差估计值
δ误差方差比率
mXY样本协方差矩阵的元素
mYY样本协方差矩阵的元素
mXX样本协方差矩阵的元素

系数

如果样本协方差矩阵的元素 mXY 不等于 0,则:

如果 mxy = 0 且 myy < δm xx','

如果 mxy = 0 且 myy > δmxx,则剩余参数估计值未定义。

表示法

说明
斜率估计值
截距估计值
mxy样本协方差矩阵的元素
myy样本协方差矩阵的元素
δ误差方差比率
响应变量的平均值
预测变量的平均值

近似分布的协方差矩阵

截距和斜率的近似分布的协方差矩阵的估计值:

其中:

并且

如果 mXY 不等于 0:

如果 mXY 等于 0 且 mYY < δmXX

表示法

说明
斜率估计值
截距估计值
mXY样本协方差矩阵的元素
mYY样本协方差矩阵的元素
mXX样本协方差矩阵的元素
δ误差方差比率
响应变量的平均值
预测变量的平均值

截距的置信区间

β0 的 100(1 - α)% 置信区间为:
其中:

Z (1 - α / 2) 是标准正态分布的第 100 * (1 - α / 2 ) 个百分位点

并且

,它是近似分布的协方差矩阵中的一个元素

表示法

说明
斜率估计值
截距估计值
α显著性水平

斜率的置信区间

β1 的 100(1 - α)% 置信区间为:

其中:

Z(1 - α / 2) 是标准正态分布的第 100 * (1 - α / 2) 个百分位点

并且

表示法

说明
斜率估计值
截距估计值
α显著性水平

x 的拟合值

正交回归中预测变量 x 的拟合值为:

表示法

说明
δ误差方差比率
Yt第 t 个响应值
截距估计值
斜率估计值

y 的拟合值

正交回归中响应变量 y 的拟合值为:

表示法

说明
截距估计值
斜率估计值
x 的第 t 个拟合值

残差

正交回归中观测值的残差为:

表示法

说明
Yt第 t 个响应值
截距
Xt第 t 个预测变量值
斜率

标准化残差

标准化残差可用于标识异常值。它的计算方法为:

其中

表示法

说明
残差
残差标准差
δ误差方差比率
斜率估计值
X 的误差方差估计值

预测变量 Y

预测变量 Yn + 1 为:

其中:

并且

表示法

说明
Xt第 t 个预测变量值
预测变量的平均值
Yt第 t 个响应值
响应变量的平均值

预测误差的标准差

其中:

表示法

说明
myyY 样本方差
mxyXY 随机变量之间的样本方差
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