拟合回归模型中方差分析的方法和公式

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平方和 (SS)

在矩阵项中,以下是针对不同平方和的公式:

Minitab 同时采用连续平方和与调整的平方和,将 SS 回归或 SS 处理分量分解为由每个项解释的变异量。

表示法

说明
b系数向量
X设计矩阵
Y响应值向量
n观测值个数
J1s 的 n by n 矩阵

连续平方和

Minitab 将方差的 SS 回归或处理分量分解为每个因子的连续平方和。连续平方和取决于将因子或预测变量输入到模型中的顺序。在指定以前输入的因子的情况下,连续平方和是 SS 回归中唯一由因子解释的部分。

例如,如果模型有三个因子或预测变量 X1、X2 和 X3,在 X1 已存在于模型中的给定条件下,X2 的连续平方和会显示 X2 解释的其余变异的量。要获得不同的因子序列,请重复分析并以不同的顺序输入因子。

自由度 (DF)

模型的每个分量的自由度:

变异源 自由度
回归 p
误差 n – p – 1
合计 n – 1

如果数据符合特定标准,且模型包含至少一个连续预测变量或多个类别预测变量,则 Minitab 会将一些自由度用于失拟检验。标准如下:
  • 该数据包含多个具有相同预测变量值的观测值。
  • 该数据包含正确的点,可估计模型中不存在的其他项。

表示法

说明
n 观测值个数
p 模型中系数的个数,不计算常量

调整 MS – 回归

回归均方 (MS) 的公式如下:

表示法

说明
平均响应
i 个拟合响应
p模型中的项数

Adj MS – 误差

均方误(也称为 MS 误差或 MSE,表示为 s2)是围绕拟合回归线的方差。公式如下:

表示法

说明
yii 个观测响应值
i 个拟合响应
n观测值个数
p模型中的系数数量,不包括常量

Adj MS – 合计

均方 (MS) 合计的公式为:

表示法

说明
平均值响应变量
yi观测的第 i 个响应值
n观测值个数

F 值

F 值的公式如下:

F(回归)
F(项)
F(失拟)

表示法

说明
MS 回归度量响应变量中由当前模型解释的变异。
MS 误差度量无法由模型解释的变异。
MS 项度量在说明模型中的其他项之后,要由一个项解释的变异量。
MS 失拟度量响应变量中可以通过向模型中添加更多项来建模的变异。
MS 纯误差度量仿行响应数据中的变异。

P 值 – 方差分析表

p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:

分子自由度
检验中一个或多个项的自由度总和
分母自由度
误差的自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ff)F 分布的累积分布函数
f检验的 f 统计量

纯误差失拟检验

要计算纯误差失拟检验,Minitab 会计算:
  1. 每组仿行中均值的响应偏差平方和,并将其相加以生成纯误差平方和 (SS PE)。
  2. 纯误差均方

    其中 n = 观测值个数,m = 可区分 x 水平组合的数量

  3. 失拟平方和
  4. 失拟均方
  5. 检验统计量

较大的 F 值和较小的 p 值表明模型不合适。

P 值 – 失拟检验

此 p 值用于检验原假设(即,可以根据模型中没有的数据估计的任何项的系数为 0)。p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:
分子自由度
失拟自由度
分母自由度
纯误差自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ffj)F 分布的累积分布函数
fj检验的 f 统计量
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