拟合二元 Logistic 模型中诊断度量标准的方法和公式

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Pearson 残差

Pearson 卡方的元素,可用于检测未能良好拟合的因子/协变量模式。Minitab 会存储第 i 个因子/协变量模式的 Pearson 残差。公式为:

表示法

说明
yii 个因子/协变量模式的响应值
i 个因子/协变量模式的拟合值
V在 处的模型方差函数

方差函数取决于模型:

模型 方差函数
二项
Poisson

标准化和删后 Pearson 残差

用于检测未能良好拟合的因子/协变量模式。Minitab 会存储第 i 个因子/协变量模式的标准化 Pearson 残差。删后 Pearson 残差又称似然比 Pearson 残差。对于删后 Pearson 残差,Minitab 会计算 Pregibon 中描述的一步近似。1 该近似等于标准化 Pearson 残差。公式为:

表示法

说明
i 个因子/协变量模式的 Pearson 残差
1,用于二项和 Poisson 模型
i 个因子/协变量模式的杠杆率

偏差量残差

偏差量残差基于模型偏差,并且适用于标识未能良好拟合的因子/协变量模式。模型偏差是基于对数似然函数的拟合优度统计量。为第 i 个因子/协变量模式定义的偏差量残差为:

表示法

说明
yi i 个因子/协变量模式的响应值
i 个因子/协变量模式的拟合值
i 个因子/协变量模式的偏差

标准化偏差量残差

标准化偏差量残差可用于标识异常值。公式为:

表示法

说明
rD,ii 个因子/协变量模式的偏差量残差
hii 个因子/协变量模式的杠杆率

删后偏差量残差

删后偏差量残差可度量由于数据中缺失第 i 个案例而导致的偏差变化。删后偏差量残差又称似然比率偏差量残差。对于删后偏差量残差,Minitab 会根据 Pregibon 一步近似法1计算一步近似值。公式如下:

表示法

说明
yii 个因子/协变量模式的响应值
i 个因子/协变量模式的拟合值
hi第 i 个因子/协变量模式的杠杆率
r'D,ii 个因子/协变量模式的标准化偏差量残差
r'P,ii 个因子/协变量模式的标准化 Pearson 残差

1. Pregibon, D. (1981)。“Logistic 回归诊断”。The of Statistics(统计年刊),第 9 卷,第 4 期,第 705–724 页。

Delta 卡方

Minitab 会计算由于删除所有包含第 j 个因子/协变量模式的观测值而导致的 Pearson 卡方变化。Minitab 会针对数据中的每个可区分因子/协变量模式存储一个 Delta 卡方值。您可以使用 Delta 卡方检测未能良好拟合的因子/协变量模式。Delta 卡方的公式为:

公式

表示法

说明
hj 杠杆率
rj Pearson 残差

Delta 偏差

Minitab 会通过删除所有包含第 j 个因子/协变量模式的观测值来计算偏差统计量变化。Minitab 会针对数据中的每个可区分因子/协变量模式存储一个值。您可以使用 Delta 偏差检测未能良好拟合的因子/协变量模式。偏差统计量变化为:

表示法

说明
hj杠杆率
rjPearson 残差
dj偏差量残差

Delta beta(标准化)

Minitab 会通过删除所有包含第 j 个因子/协变量模式的观测值来计算该变化。会针对数据中的每个可区分因子/协变量模式存储一个值。您可以使用标准化 delta β 来检测严重影响系数估计值的因子/协变量模式。该值基于标准化 Pearson 残差。

公式

表示法

说明
hj 杠杆率
rs j 标准化 Pearson 残差

Delta beta

Minitab 会通过删除所有包含第 j 个因子/协变量模式的观测值来计算该变化。会针对数据中的每个可区分因子/协变量模式存储一个值。您可以使用 Delta β 来检测严重影响系数估计值的因子/协变量模式。该值基于 Pearson 残差。

公式

表示法

说明
hj 杠杆率
rj Pearson 残差

杠杆率

杠杆率是广义帽子矩阵的对角线元素。杠杆率可用于检测可能对结果有显著影响的因子/协变量模式。

公式

表示法

说明
wj 与系数拟合的权重矩阵的第 j 个对角线元素
xj设计矩阵的第 j
X设计矩阵
X'x 的转置
W系数估计值的权重矩阵

Cook 距离

Minitab 计算 Cook 距离的近似值。

公式

表示法

说明
hii 个因子/协变量模式的杠杆率
i 个因子/协变量模式的标准化 Pearson 残差
p回归自由度

DFITS

度量一次删除对拟合值的影响。DFITS 值较大的观测值可能是异常值。Minitab 会计算 DFITS 的近似值。

公式

表示法

说明
hi数据点的杠杆率
数据点的删后 Pearson 残差

方差膨胀因子 (VIF)

要计算 VIF,请对相应预测变量和剩余的预测变量执行加权回归。加权矩阵由 McCullagh 和 Nelder1 得出,可用于估计系数。在这种情况下,VIF 公式与线性回归公式等效。例如,对于预测变量 xj,VIF 的公式为:

表示法

说明
R2( xj)将预测变量为 xj 的判定系数作为响应变量,将模型中的其他项作为预测变量

1. P. McCullagh 和 J. A. Nelder (1989)。Generalized Linear Models(广义线性模型),第 2 版,Chapman & Hall/CRC, London。

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