判别分析的距离和判别函数

平方距离

平方 Mahalanobis 距离 - 一般形式

线性判别的观测值 x 到组 t 中心(均值)的平方距离(亦称为 Mahalanobis 距离)通过以下一般形式提供:

平方 Mahalanobis 距离 - 二次函数

二次判别函数的 x 到组 t 的平方 Mahalanobis 距离计算如下:

广义平方距离 - 线性函数

线性判别函数的 x 到组 t 的广义平方距离计算如下:

广义平方距离 - 二次函数

二次判别函数的 x 到组 t 的广义平方距离计算如下:

后验概率

属于组 t 的 x 后验概率计算如下:

线性判别分值

线性判别分值计算如下:

表示法

说明
x包含此观测值的预测变量值的长度 p 的列向量(此列向量存储为一行)
p预测变量数
n观测值总数
t组下标
nt组 t 中的观测值个数
qt组 t 的先验概率,其等于 nt/n
Sp用于线性判别分析的合并协方差矩阵
Si用于二次判别分析的组 i 的协方差矩阵
mt包含根据组 t 中数据计算的预测变量均值的长度 p 的列向量
St组 t 的协方差矩阵
|St|St 的行列式

线性判别函数

线性判别函数对应于多元回归中的回归系数,计算如下:

对于给定的 x,此规则将 x 分配给具有最大线性判别函数的组。

表示法

说明
x包含此观测值预测变量值的长度 p 的列向量(此列向量存储为一行)
mi包含根据组 i 中数据计算的预测变量均值的长度 p 的列向量
Sp合并协方差矩阵
ln pi组 i 的先验概率的自然对数

广义平方距离

广义平方距离用作二次距离度量,计算如下:

表示法

说明
x包含此观测值预测变量值的长度 p 的列向量(此列向量存储为一行)
mi包含根据组 i 中数据计算的预测变量均值的长度 p 的列向量
Sp合并协方差矩阵 f
In pi组 i 的先验概率的自然对数

后验概率

后验概率是给定数据并按以下方式计算的组 i 的概率:

最大后验概率等于 In [pi fi (x)] 的最大值

其中(如果分布是正态的):
并且

表示法

说明
pi组 i 的先验概率
fi(x)组 i 中数据的联合密度(用样本估计值替换了总体参数)
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