分析响应曲面设计中拟合值与残差的方法和公式

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拟合

表示法

说明
拟合值
xkk 个项。每个项都可以是单个预测变量、多项式项或交互作用项。
bkk 个回归系数的估计值

拟合值的标准误(拟合值 SE)

具有一个预测变量的回归模型中拟合值的标准误为:

具有多个预测变量的回归模型中拟合值的标准误为:

表示法

说明
s2均方误
n观测值个数
x0新的预测变量值
预测变量均值
xi第 i 个预测变量值
x0生成拟合值的值向量,在设计矩阵中,每列一个,以常量项的 1 开始
x'0新的预测变量值向量的转置
X设计矩阵

残差

残差是观测值与相应拟合值之间的差分。该模型不解释这部分观测值。观测值的残差为:

表示法

说明
yi观测的第 i 个响应值
i 个响应拟合值

标准化残差 (Std Resid)

标准化残差也称为“内部 t 化残差”。

公式

表示法

说明
ei i 个残差
hi X(X'X)–1X' 的第 i 个对角线元素
s2 均方误
X设计矩阵
X'转置设计矩阵

删后(t 化)残差

也称为外部 t 化残差。计算公式为:

此公式的其他表现形式为:

估计第 i 个观测值的模型会从数据集中忽略第 i 个观测值。因此,第 i 个观测值无法对估计值产生影响。每个删后残差均具有学生 t 分布,自由度为 自由度。

表示法

说明
ei第 i 个残差
s(i)2未使用第 i 个观测值计算得出的均方误差
hiX(X'X)–1X' 的第 i 个对角线元素
n观测值个数
p项数,包括常量
SSE误差平方和

置信区间

一组给定预测变量值的估计响应均值将落入的范围。该区间由下限和上限共同定义,Minitab 根据拟合值的置信水平和标准误计算上限和下限。

其中

表示法

说明
α所选的 Alpha 值
n观测值个数
p参数的个数
s2均方误
s2{b}系数的方差-协方差矩阵

预测区间

一个新观测值的预测响应将落入的范围。该区间由下限和上限共同定义,Minitab 根据预测值的置信水平和标准误计算下限和上限。预测区间总是要比置信区间宽,这是因为在对单个响应与响应均值的预测中包括了更多的不确定性。

计算公式为:0+ t(1 -α /2; n - p) s(预测值)

表示法

说明
α所选的 Alpha 值
n观测值个数
p预测变量数
s (预测值)
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