分析响应曲面设计中方差分析的方法和公式

请选择您所选的方法或公式。

调整的平方和

调整的平方和并不取决于项输入到模型中的顺序。无论项输入到模型中的顺序如何,在模型中指定所有其他项的情况下,调整的平方和都是由项解释的变异量。

例如,如果模型有三个因子 X1、X2 和 X3,在 X1 和 X3 的项也已经位于模型中的情况下,X2 的调整的平方和显示由 X2 的项解释的其余变异量。

三种因子的调整的平方和的计算公式如下:

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) 或
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

其中,在模型中给定 X1 和 X2 的情况下,SSR(X3 | X1, X2) 是 X3 的调整的平方和。

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) 或
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

其中,在模型中给定 X1 的情况下,SSR(X2, X3 | X1) 是 X2 和 X3 的调整的平方和。

如果模型 1 中有三个以上的因子,则可以扩展这些公式。

  1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models(应用线性统计模型),第二版。Irwin, Inc.。

平方和 (SS)

在矩阵项中,以下是针对不同平方和的公式:

Minitab 同时采用连续平方和与调整的平方和,将 SS 模型分量分解为由每个或每组项解释的变异量。

表示法

说明
b系数向量
X设计矩阵
Y响应值向量
n观测值个数
J全为 1 的 n x n 矩阵

连续平方和

Minitab 将方差的 SS 模型分量分解为每个或每组因子项的连续平方和。连续平方和取决于将因子或预测变量输入到模型中的顺序。在给出了以前输入的任何项时,连续平方和是 SS 模型中由每个项解释的唯一部分。

例如,如果模型有三个因子 X1、X2 和 X3,在 X1 已经在模型中的情况下,X2 的连续平方和显示 X2 解释的其余变异量。要获得不同的项序列,请重复分析并以不同的顺序输入项。

自由度 (DF)

不同的平方和具有不同的自由度。

数字因子的自由度 = 1

类别因子的自由度 = b − 1

二次项的自由度 = 1

区组的自由度 = c − 1

误差的自由度 = n − p

纯误差的自由度 =

失拟的自由度 = m − p

自由度合计 = n − 1

对于因子间的交互作用,乘以因子中项的自由度。例如,如果因子是 A 和 B,则交互作用 AB 具有以下自由度:
要查找某一类项的自由度,请将这些项的自由度求和。例如,如果因子是 A 和 B,则模型中的主效应具有以下自由度:
注意

Minitab 筛选设计中的类别因子具有 2 个水平。因此,类别因子的自由度为 2 – 1 = 1。广义来说,因子之间的交互作用也具有 1 个自由度。

表示法

说明
b因子中的水平数
c区组数
n观测值总数
nii 个因子水平组合的观测值个数
m因子水平组合数
p系数的数量

调整 MS – 模型

表示法

说明
响应变量的均值
i 个响应拟合值
p模型中的项数,不包括常量项

调整 MS – 项

模型项的均方 (MS) 的计算公式是:

Adj MS – 误差

均方误(也称为 MS 误差或 MSE,表示为 s2)是围绕拟合回归线的方差。公式如下:

表示法

说明
yii 个观测响应值
i 个拟合响应
n观测值个数
p模型中的系数数量,不包括常量

F

F 统计量的计算取决于假设检验,如下所示:

F(项)
F(失拟)

表示法

说明
调整的 MS 项在说明模型中的其他项后,针对项解释的变异量的度量。
MS 误差针对模型不解释的变异的度量。
MS 失拟针对可以通过向模型添加更多项来进行建模的响应中变异的度量。
MS 纯误差针对仿行响应数据中变异的度量。
  1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models(应用的线性统计模型),第二版。Irwin, Inc.

P 值 – 方差分析表

p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:

分子自由度
检验中一个或多个项的自由度总和
分母自由度
误差的自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ff)F 分布的累积分布函数
f检验的 f 统计量

P 值 – 失拟检验

此 p 值用于检验原假设(即,可以根据模型中没有的数据估计的任何项的系数为 0)。p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:
分子自由度
失拟自由度
分母自由度
纯误差自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ffj)F 分布的累积分布函数
fj检验的 f 统计量
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