分析变异性中方差分析的方法和公式

平方和 (SS)

平方距离和。所给出的公式适用于全因子、双因子(其中包含因子 A 和 B)模型。这些公式可以扩展为具有两个以上因子的模型。有关详细信息,请参见 Montgomery1

SS 合计是模型中的总变异。SS (A) 和 SS (B) 是估计的因子水平均值(在总体均值周围)的平方差和。SS 误差是残差平方和。它也称为处理内误差。计算如下:

如果模型包含仿行,则 SS 纯误差是:
对于除全因子、双因子模型外的情况,您可以具有其他平方和。如果您拟合简化的模型,则 SS 失拟是:
如果模型包括中心点,则 SS 弯曲是:
在裂区设计中,整区和子区的误差变异的平方和是:
  1. D.C. Montgomery (1991)。Design and Analysis of Experiments(试验的设计和分析),第三版,John Wiley & Sons。

表示法

说明
a因子 A 中的水平数
b因子 B 中的水平数
n仿行总数
因子 A 的第 i 个水平的均值
所有观测值的总体均值
因子 B 的第 j 个水平的均值
分别位于因子 A 的第 i 个水平和因子 B 的第 j 个水平以及第 k 个仿行的观测值
因子 A 的第 i 个水平以及因子 B 的第 j 个水平的均值
中心点的平均响应
因子点的平均响应
nF因子点数

连续平方和

Minitab 将方差的 SS 回归或处理分量分解为每个因子的连续平方和。连续平方和取决于将因子或预测变量输入到模型中的顺序。在指定以前输入的因子的情况下,连续平方和是 SS 回归中唯一由因子解释的部分。

例如,如果模型有三个因子或预测变量 X1、X2 和 X3,在 X1 已存在于模型中的给定条件下,X2 的连续平方和会显示 X2 解释的其余变异的量。要获得不同的因子序列,请重复分析并以不同的顺序输入因子。

调整的平方和

调整的平方和并不取决于项输入到模型中的顺序。无论项输入到模型中的顺序如何,在模型中指定所有其他项的情况下,调整的平方和都是由项解释的变异量。

例如,如果模型有三个因子 X1、X2 和 X3,在 X1 和 X3 的项也已经位于模型中的情况下,X2 的调整的平方和显示由 X2 的项解释的其余变异量。

三种因子的调整的平方和的计算公式如下:

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) 或
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

其中,在模型中给定 X1 和 X2 的情况下,SSR(X3 | X1, X2) 是 X3 的调整的平方和。

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) 或
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

其中,在模型中给定 X1 的情况下,SSR(X2, X3 | X1) 是 X2 和 X3 的调整的平方和。

如果模型 1 中有三个以上的因子,则可以扩展这些公式。

  1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models(应用线性统计模型),第二版。Irwin, Inc.。

自由度 (DF)

对于包含因子 A B 及区组变量的全因子设计,与每个平方和相关联的自由度数目是:

对于因子间的交互作用,乘以因子中项的自由度。例如,如果因子是 A 和 B,则交互作用 AB 具有以下自由度:
要查找某一类项的自由度,请将这些项的自由度求和。例如,如果因子是 A 和 B,则模型中的主效应具有以下自由度:

表示法

说明
a因子 A 中的水平数
b因子 B 中的水平数
c区组数
n观测值总数
nii 个因子水平组合的观测值个数
m因子水平组合数
p系数数目

调整 MS – 项

模型项的均方 (MS) 的计算公式是:

F

一种用于确定交互作用和主效应是否显著的检验。用于模型项的公式是:

检验的自由度为:

  • 分子 = 项自由度
  • 分母 = 误差自由度

较大的 F 值支持否定没有非显著效应的原假设。

对于平衡裂区设计,针对难以改变的因子的 F 统计量对分母中的整区误差使用 MS。对于其他裂区设计,Minitab 使用 WP 误差和 SP 误差的线性组合来构建基于预期均方的分母。

P 值 – 方差分析表

p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:

分子自由度
检验中一个或多个项的自由度总和
分母自由度
误差的自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ff)F 分布的累积分布函数
f检验的 f 统计量

纯误差失拟检验

要计算纯误差失拟检验,Minitab 会计算:
  1. 每组仿行中均值的响应偏差平方和,并将其相加以生成纯误差平方和 (SS PE)。
  2. 纯误差均方

    其中 n = 观测值个数,m = 可区分 x 水平组合的数量

  3. 失拟平方和
  4. 失拟均方
  5. 检验统计量

较大的 F 值和较小的 p 值表明模型不合适。

P 值 – 失拟检验

此 p 值用于检验原假设(即,可以根据模型中没有的数据估计的任何项的系数为 0)。p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:
分子自由度
失拟自由度
分母自由度
纯误差自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ffj)F 分布的累积分布函数
fj检验的 f 统计量
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