一般多元方差分析中方差分析的方法和公式

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自由度 (DF)

模型的每个分量的自由度为:

变异源 自由度
因子 ki – 1
协变量和协变量之间的交互作用 1
包含因子的交互作用
回归 p
误差 n p – 1
合计 n – 1

如果数据符合特定的标准,并且模型包含至少一个连续预测变量或多个类别预测变量,则 Minitab 会针对失拟检验使用部分自由度。标准如下所示:
  • 数据包含具有相同预测变量值的多个观测值。
  • 数据包含用于估计模型中不存在的其他项的正确点。

表示法

说明
ki第 i 个因子中的水平数
m因子数
n 观测值个数
p 模型中的系数数量,不包括常量

平方和 (SS)

在矩阵项中,以下是针对不同平方和的公式:

Minitab 同时采用连续平方和与调整的平方和,将 SS 回归或 SS 处理分量分解为由每个项解释的变异量。

表示法

说明
b系数向量
X设计矩阵
Y响应值向量
n观测值个数
J1s 的 n by n 矩阵

连续平方和

Minitab 将方差的 SS 回归或处理分量分解为每个因子的连续平方和。连续平方和取决于将因子或预测变量输入到模型中的顺序。在指定以前输入的因子的情况下,连续平方和是 SS 回归中唯一由因子解释的部分。

例如,如果模型有三个因子或预测变量 X1、X2 和 X3,在 X1 已存在于模型中的给定条件下,X2 的连续平方和会显示 X2 解释的其余变异的量。要获得不同的因子序列,请重复分析并以不同的顺序输入因子。

调整的平方和

调整的平方和并不取决于项输入到模型中的顺序。无论项输入到模型中的顺序如何,在模型中指定所有其他项的情况下,调整的平方和都是由项解释的变异量。

例如,如果模型有三个因子 X1、X2 和 X3,在 X1 和 X3 的项也已经位于模型中的情况下,X2 的调整的平方和显示由 X2 的项解释的其余变异量。

三种因子的调整的平方和的计算公式如下:

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) 或
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

其中,在模型中给定 X1 和 X2 的情况下,SSR(X3 | X1, X2) 是 X3 的调整的平方和。

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) 或
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

其中,在模型中给定 X1 的情况下,SSR(X2, X3 | X1) 是 X2 和 X3 的调整的平方和。

如果模型 1 中有三个以上的因子,则可以扩展这些公式。

  1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models(应用线性统计模型),第二版。Irwin, Inc.。

调整 MS – 回归

回归均方 (MS) 的公式如下:

表示法

说明
平均响应
i 个拟合响应
p模型中的项数

Adj MS – 误差

均方误(也称为 MS 误差或 MSE,表示为 s2)是围绕拟合回归线的方差。公式如下:

表示法

说明
yii 个观测响应值
i 个拟合响应
n观测值个数
p模型中的系数数量,不包括常量

F

如果模型中所有因子都是固定的,那么 F 统计量的计算就取决于假设检验的内容,如下所示:

F(项)
F(失拟)

如果模型中具有随机因子,则针对每个项使用期望均方来构建 F。有关更多信息,请参见 Neter 等人的文章1

表示法

说明
调整的 MS 项在说明模型中的其他项后,针对项解释的变异量的度量。
MS 误差针对模型不解释的变异的度量。
MS 失拟针对可以通过向模型添加更多项来进行建模的响应中变异的度量。
MS 纯误差针对仿行响应数据中变异的度量。
  1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models(适用的线性统计模型),第二版。Irwin, Inc.

P 值 – 方差分析表

p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:

分子自由度
检验中一个或多个项的自由度总和
分母自由度
误差的自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ff)F 分布的累积分布函数
f检验的 f 统计量

P 值 – 失拟检验

此 p 值用于检验原假设(即,可以根据模型中没有的数据估计的任何项的系数为 0)。p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:
分子自由度
失拟自由度
分母自由度
纯误差自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ffj)F 分布的累积分布函数
fj检验的 f 统计量
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