完全嵌套方差分析的方法和公式

请选择您所选的方法或公式。

完全嵌套方差分析模型

具有两个随机因子(A 和 B)的平衡设计的嵌套方差分析模型为:

yijk = μ .. + α i+ β j(i) ijk

其中, α i、β j(i) 和 ε ijk 是独立正态随机变量,期望值为 0 ,方差分别为 σ2 α、σ2 β 和 σ2

参数估计方法如下:

μ .. = y̅...

α i = yi..− y̅...

β j(i) = yij.− y̅i..

其中,y̅... = 所有观测值的均值,yi.. = 因子 A 的第 i 个水平下观测值的均值,yij. = 因子 A 的第 i 个水平下,因子 B 的第 j 个水平的观测值的均值。当 A 处于第 i 个水平时,参数 β j(i) 是 B 的特定效应。

有关具有不平衡设计的模型的信息,请参见 Neter1
  1. J. Neter、W. Wasserman 和 M.H. Kutner (1985)。Applied Linear Statistical Models(应用的线性统计模型),第二版,Irwin, Inc.。

连续平方和

平方距离和。SS 合计是数据的总变异。SS (A) 和 SS (B) 是围绕总体均值的估计因子水平均值的变异量。它们也称为因子 A 或因子 B 的平方和。SS 误差是观测值较其拟合值的变异量。计算如下:

Minitab 提供连续平方和,它取决于将因子输入到模型中的顺序。在给定以前输入的因子的情况下,连续平方和是 SS 回归中唯一由因子解释的部分。

表示法

说明
a因子 A 中的水平数
b因子 B 中的水平数
n试验总数
yi.. 因子 A 的第 i 个因子水平的均值
y...所有观测值的总体均值
y.j. 因子 B 的第 j 个因子水平的均值
yij.分别位于因子 A 的第 i 个水平以及因子 B 的第 j 个水平的观测均值

自由度 (DF)

对于具有两个因子 A 和 B 的完全嵌套方差分析模型,其自由度为:

其中 a = 因子 A 中的水平数,b = 因子 B 中的水平数,n 是试验数。

均方 (MS)

公式

F

对于具有随机因子的模型,具有用于 F 统计量的公式。

公式

P 值 – 方差分析表

p 值是从具有如下自由度的 F 分布得出的概率:

分子自由度
检验中一个或多个项的自由度总和
分母自由度
误差的自由度

公式

1 − P(Ffj)

表示法

说明
P(Ff)F 分布的累积分布函数
f检验的 f 统计量

方差分量

由随机因子计算得出。具有两个随机因子的嵌套模型为:

其中,αi、βj(i) 和 εijk 是独立正态随机变量。这些变量属于正态分布,均值为零,且方差由以下公式给定: V(αi) = σ2α、V(βj) = σ2β 且 V(εijk) = σ2。假设所有 bj(i) 具有相同的方差,则 σ2β、σ2α、σ2β、σ2αβ、σ2 被称为方差分量。

期望均方

对于具有两个随机因子的模型 A 和 B,期望均方为:

具有随机因子的模型的 F 统计量

如何计算方差分析输出中的 F 统计量

每个 F 统计量都是均方比率。分子是项的均方。已选择分母,以便分子均方预期值仅在相关效应下不同于分母均方预期值。随机项的效应由项的方差分量表示。固定项的效应通过与该项相关的模型分量的平方和除以其自由度表示。因此,高 F 统计量表明效应显著。

当模型中的所有项均固定时,每个 F 统计量的分母都为均方误 (MSE)。但是,对于包含随机项的模型,MSE 并不总是正确的均方。预期均方 (EMS) 可用于确定哪一个适合分母。

示例

假设您执行一个固定因子为“屏幕”,随机因子为“技术”的方差分析,则 EMS 输出如下:
来源 每项的期望均方
(1) 屏幕 (4) + 2.0000(3) + Q[1]
(2) 技术 (4) + 2.0000(3) + 4.0000(2)
(3) 屏幕*技术 (4) + 2.0000(3)
(4) 误差 (4)

带括号的数字表示在源数字旁边列出的与项相关的随机效应。(2) 表示 Tech 的随机效应,(3) 表示 Screen*Tech 交互作用项的随机效应,(4) 表示误差的随机效应。误差的 EMS 是误差项的效应。此外,Screen*Tech 的 EMS 是误差项的效应与 Screen*Tech 双倍的交互作用项效应相加。

要计算“屏幕*技术”的 F 统计量,使用“屏幕*技术”的均方除以误差的均方,使得分子的预期值(“屏幕*技术”的 EMS = (4) + 2.0000(3))与分母的预期值(误差的 EMS = (4))仅在交互作用项 (2.0000(3))上存在差异。因此,高 F 统计量表明“屏幕*技术”交互作用显著。

Q[ ] 的数字表明与源数字旁边列出的项相关的固定效应。例如,Q[1] 是 Screen 的固定效应。Screen 的 EMS 是误差项的效应与两倍的 Screen*Tech 交互作用项效应相加。Q[1] 等于 (b*n * 总和 ((Screen 的水平系数)**2)) 除以 (a - 1),其中 a 和 b 分别是 Screen 和 Tech 的水平数,n 是仿行数。

要计算 Screen 的 F 统计量,可以使用 Screen 的均方除以 Screen*Tech 的均方, 这样,分子的预期值(Screen*Tech 的 EMS = (4) + 2.0000(3) + Q[1])与分母的预期值(Screen*Tech 的 EMS = (4) + 2.0000(3))仅在 Screen (Q[1]) 上存在差异。因此,高 F 统计量表明 Screen 效应显著。

为什么我的方差分析输出中在方差分析表的 p 值旁有一个“x”,且带有标签“不是精确的 F 检验”?

针对某个项的精确 F 检验是分子均方的预期值与分母均方的预期值仅在目标项的方差分量或固定因子上有所差异的检验。

但有时,这种均方是无法计算的。在这种情况下,Minitab 会使用一个适当的均方进行近似 F 检验,并在 p 值旁显示“x”,以标识 F 检验不精确。

例如,假设您执行一个固定因子为“补充”,随机因子为“湖”的方差分析,则预期均方 (EMS) 输出如下:
来源 每项的期望均方
(1) 补充 (4) + 1.7500(3) + Q[1]
(2) 湖 (4) + 1.7143(3) + 5.1429(2)
(3) 补充*湖 (4) + 1.7500(3)
(4) 误差 (4)

“补充”的 F 统计量是用补充的均方除以“补充*湖”交互作用项的均方。如果“补充”的效应较小,分子的预期值将等于分母的预期值。下面是精确的 F 检验的示例。

但是请注意,对于非常小的“湖”效应,不存在分子预期值等于分母预期值的均方。因此,Minitab 使用近似 F 检验。在此示例中,“湖”的均方除以“补充*湖”交互作用项的均方。如果“湖”效应较小,这会导致分子预期值约等于分母预期值。

关于“F 检验的分母为零或未定义”消息

Minitab 将显示一条错误消息:出于以下原因之一,F 检验的分母为零或未定义:
  • 不存在至少一个误差自由度。
  • 调整的 MS 值非常小,因此不够精确,无法显示 F 值和 p 值。作为计算方法,请将响应值列乘以 10。然后执行相同的回归模型,但取而代之,针对响应值使用新的响应值列。

    注意

    响应值乘以 10 将不会影响 Minitab 显示输出的 F 值和 p 值。但是,其余输出中的小数点位置将受到影响,特别是连续平方和、Adj SS、Adj MS、拟合、拟合的标准误和残差列。

如何计算方差分析输出中的 F 统计量

每个 F 统计量都是均方比率。分子是项的均方。已选择分母,以便分子均方预期值仅在相关效应下不同于分母均方预期值。随机项的效应由项的方差分量表示。固定项的效应通过与该项相关的模型分量的平方和除以其自由度表示。因此,高 F 统计量表明效应显著。

当模型中的所有项均固定时,每个 F 统计量的分母都为均方误 (MSE)。但是,对于包含随机项的模型,MSE 并不总是正确的均方。预期均方 (EMS) 可用于确定哪一个适合分母。

示例

假设您执行一个固定因子为“屏幕”,随机因子为“技术”的方差分析,则 EMS 输出如下:
来源 每项的期望均方
(1) 屏幕 (4) + 2.0000(3) + Q[1]
(2) 技术 (4) + 2.0000(3) + 4.0000(2)
(3) 屏幕*技术 (4) + 2.0000(3)
(4) 误差 (4)

带括号的数字表示在源数字旁边列出的与项相关的随机效应。(2) 表示 Tech 的随机效应,(3) 表示 Screen*Tech 交互作用项的随机效应,(4) 表示误差的随机效应。误差的 EMS 是误差项的效应。此外,Screen*Tech 的 EMS 是误差项的效应与 Screen*Tech 双倍的交互作用项效应相加。

要计算“屏幕*技术”的 F 统计量,使用“屏幕*技术”的均方除以误差的均方,使得分子的预期值(“屏幕*技术”的 EMS = (4) + 2.0000(3))与分母的预期值(误差的 EMS = (4))仅在交互作用项 (2.0000(3))上存在差异。因此,高 F 统计量表明“屏幕*技术”交互作用显著。

Q[ ] 的数字表明与源数字旁边列出的项相关的固定效应。例如,Q[1] 是 Screen 的固定效应。Screen 的 EMS 是误差项的效应与两倍的 Screen*Tech 交互作用项效应相加。Q[1] 等于 (b*n * 总和 ((Screen 的水平系数)**2)) 除以 (a - 1),其中 a 和 b 分别是 Screen 和 Tech 的水平数,n 是仿行数。

要计算 Screen 的 F 统计量,可以使用 Screen 的均方除以 Screen*Tech 的均方, 这样,分子的预期值(Screen*Tech 的 EMS = (4) + 2.0000(3) + Q[1])与分母的预期值(Screen*Tech 的 EMS = (4) + 2.0000(3))仅在 Screen (Q[1]) 上存在差异。因此,高 F 统计量表明 Screen 效应显著。

为什么我的方差分析输出中在方差分析表的 p 值旁有一个“x”,且带有标签“不是精确的 F 检验”?

针对某个项的精确 F 检验是分子均方的预期值与分母均方的预期值仅在目标项的方差分量或固定因子上有所差异的检验。

但有时,这种均方是无法计算的。在这种情况下,Minitab 会使用一个适当的均方进行近似 F 检验,并在 p 值旁显示“x”,以标识 F 检验不精确。

例如,假设您执行一个固定因子为“补充”,随机因子为“湖”的方差分析,则预期均方 (EMS) 输出如下:
来源 每项的期望均方
(1) 补充 (4) + 1.7500(3) + Q[1]
(2) 湖 (4) + 1.7143(3) + 5.1429(2)
(3) 补充*湖 (4) + 1.7500(3)
(4) 误差 (4)

“补充”的 F 统计量是用补充的均方除以“补充*湖”交互作用项的均方。如果“补充”的效应较小,分子的预期值将等于分母的预期值。下面是精确的 F 检验的示例。

但是请注意,对于非常小的“湖”效应,不存在分子预期值等于分母预期值的均方。因此,Minitab 使用近似 F 检验。在此示例中,“湖”的均方除以“补充*湖”交互作用项的均方。如果“湖”效应较小,这会导致分子预期值约等于分母预期值。

关于“F 检验的分母为零或未定义”消息

Minitab 将显示一条错误消息:出于以下原因之一,F 检验的分母为零或未定义:
  • 不存在至少一个误差自由度。
  • 调整的 MS 值非常小,因此不够精确,无法显示 F 值和 p 值。作为计算方法,请将响应值列乘以 10。然后执行相同的回归模型,但取而代之,针对响应值使用新的响应值列。

    注意

    响应值乘以 10 将不会影响 Minitab 显示输出的 F 值和 p 值。但是,其余输出中的小数点位置将受到影响,特别是连续平方和、Adj SS、Adj MS、拟合、拟合的标准误和残差列。

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