拟合一般线性模型中模型的方法和公式

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一般线性模型

在矩阵项中,这是一般线性回归模型的公式:

表示法

说明
Y响应向量
X设计矩阵
β参数向量
ε独立正态随机变量的向量

设计矩阵

一般线性模型使用回归方法来拟合您指定的模型。首先,Minitab 会根据因子和协变量以及您指定的模型创建一个设计矩阵。此矩阵的列即是回归的预测变量。

设计矩阵有对应于模型中的项的 n 个行(其中 n = 观测值个数)和几个列区组。第一个区组用于常量,只包含一列,一个包含所有值的列。用于协变量的区组也只包含一列,即协变量列本身。因子的列区组包含 r 个列(其中 r = 因子自由度),并按如下示例所示进行编码。

假设 A 是具有 4 个水平的因子。它的自由度为 3,其区组包含 3 列,分别称为 A1、A2、A3。

A 的水平 A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 –1 –1 –1

假设因子 B 具有在每个 A 水平中嵌套的 3 个水平。它的区组包含 (3 - 1) x 4 = 8 个列,分别称为 B11、B12、B21、B22、B31、B32、B41、B42,如下所示进行编码:

A 的水平 B 的水平 B11 B12 B21 B22 B31 B32 B41 B42
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 0 0 0 0
1 3 –1 –1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0 0 0
2 2 0 0 0 1 0 0 0 0
2 3 0 0 –1 –1 0 0 0 0
3 1 0 0 0 0 1 0 0 0
3 2 0 0 0 0 0 1 0 0
3 3 0 0 0 0 –1 –1 0 0
4 1 0 0 0 0 0 0 1 0
4 2 0 0 0 0 0 0 0 1
4 3 0 0 0 0 0 0 –1 –1

要计算交互作用项的列,只需将交互作用中的因子和/或协变量的所有对应列相乘即可。例如,假设因子 A 有 6 个水平,C 有 3 个水平,D 有 4 个水平,Z 和 W 是协变量。那么项 A * C * D * Z * W * W 就有 5 x 2 x 3 x 1 x 1 x 1 = 30 个列。要获得这些列,需将 A 的每个列乘以 C 的每个列和 D 的每个列,然后再乘以协变量 Z 一次,W 两次。

Box-Cox 变换

Box-Cox 变换选择能够最小化残差平方和的 lambda 值(如下所示)。由此生成的变换是 Yλ(当 λ ≠ 0 时)及 ln(Y)(当 λ = 0 时)。当 λ < 0 时,Minitab 还会将变换后响应乘以 −1,以维持未变换响应的顺序。

Minitab 搜索介于 −2 和 2 之间的最优值。此区间以外的值生成的拟合可能较差。

以下是一些常见的变换,其中 Y' 是数据 Y 的变换:

Lambda (λ) 值 变换
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = .5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

加权回归

加权最小二乘回归是处理具有非恒定方差的观测值的方法。如果方差不是恒定的,则观测值应具备以下特点:

  • 应当为较大的方差指定相对较小的权重
  • 应当为较小的方差指定相对较大的权重

权重的常用选项是响应中纯误差方程之逆。

估计系数的公式如下所示:
这相当于将加权 SS 误差最小化。

表示法

说明
X设计矩阵
X'转置设计矩阵
W对角线上的 n x n 权重矩阵
Y响应值向量
n观测值个数
wi第 i 个响应值的权重
yi第 i 个观测值的响应值
第 i 个观测值的拟合值
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