解释拟合一般线性模型的主要结果

请完成以下步骤来解释一般线性模型。主要输出包含 p 值、系数、R2 和残差图。

步骤 1:确定响应和项之间的关联是否在统计意义上显著

要确定响应与模型中每个项之间的关联在统计意义上是否显著,请将该项的 P 值与显著性水平进行比较以评估原假设。原假设声明该项与响应之间没有关联。通常,显著性水平(用 α 或 alpha 表示)为 0.05 即可。显著性水平 0.05 指示在实际上不存在关联时得出存在关联的风险为 5%。
P 值 ≤ α:关联在统计意义上显著
如果 P 值小于或等于显著性水平,则可以得出响应变量与项之间的关联在统计意义上显著的结论。
P 值 > α:关联在统计意义上不显著
如果 p 值大于显著性水平,则无法得出响应变量与该项之间的关联在统计意义上显著的结论。您可能希望重新拟合没有该项的模型。
如果多个预测变量与响应在统计意义上没有显著的关联,则可以通过删除项(一次删除一个)来简化模型。有关从模型中删除项的更多信息,请转到模型简化
如果一个模型项在统计意义上显著,则解释取决于该项的类型。解释如下所示:
  • 如果一个固定因子显著,则可以得出并非所有水平均值都相等的结论。
  • 如果一个随机因子显著,则可以得出该因子对响应中的变异量有贡献。
  • 如果一个交互作用项显著,则因子与响应之间的关系取决于该项中的其他因子。在这种情况下,不应在不考虑交互作用效应时解释主效应。
  • 如果一个协变量在统计意义上显著,则可以得出结论:该协变量的值的变化与平均响应值的变化相关联。
  • 如果一个多项式项显著,则可以得出数据包含弯曲的结论。
系数 项 系数 系数标准误 T 值 P 值 方差膨胀因子 常量 -4969 191 -25.97 0.000 温度 83.87 3.13 26.82 0.000 301.00 玻璃类型 1 1323 271 4.89 0.000 3604.00 2 1554 271 5.74 0.000 3604.00 温度*温度 -0.2852 0.0125 -22.83 0.000 301.00 温度*玻璃类型 1 -24.40 4.42 -5.52 0.000 15451.33 2 -27.87 4.42 -6.30 0.000 15451.33 温度*温度*玻璃类型 1 0.1124 0.0177 6.36 0.000 4354.00 2 0.1220 0.0177 6.91 0.000 4354.00
主要结果:P 值,系数

在这些结果中,玻璃类型和温度的主效应在显著性水平为 0.05 时的统计意义显著。您可推断出这些变量的变化与响应变量的变化相关联。

在三种玻璃的实验中,输出结果显示出两种类型的系数。默认情况下,Minitab 会删除一个因子水平以避免完全多重共线性。因为分析使用 −1、0、+1 编码方案,主效应的系数代表每个水平均值和整体均值之间的差值。例如,玻璃类型 1 与光输出相关联,此输出比整体均值大 1323 个单位。

温度是此模型中的一个协变量。主效应的系数代表协变量中增加一个单位而模型中的其他项保持不变的均值响应变化。温度每增加 1 度,平均光输出就增加 83.87 个单位。

同时包含在高阶项中的玻璃类型和温度均在统计意义上显著。

玻璃类型和温度的双因子和三因子交互作用项在统计意义上显著。这些交互作用项表明每个变量和响应之间的关系取决于其他变量的值。例如,光输出中的玻璃类型效应取决于温度。

多项式“温度*温度”表明,温度和光输出之间关系的弯曲在统计意义上显著。

在不考虑交互效应和弯曲的情况下,不应解释主效应。要更好地理解模型中的主效应、交互效应和弯曲,请转到因子图响应优化器

步骤 2:确定模型与数据的拟合度

要确定模型与数据的拟合优度,请检查模型汇总表中的拟合优度统计量。

S

使用 S 可评估模型描述响应值的程度。使用 S 替代 R2 统计量,以比较不具有常量的模型拟合。

S 以响应变量的单位进行度量,它表示数据值与拟合值的距离。S 值越低,模型描述响应的程度越高。但是,自身低 S 值并不表明模型符合模型假设。您应检查残差图来验证假设。

R-sq

R2 值越高,模型拟合数据的优度越高。R2 始终介于 0% 和 100% 之间。

如果向模型添加其他预测变量,则 R2 会始终增加。例如,最佳的 5 预测变量模型的 R2 始终比最佳的 4 预测变量模型的高。因此,比较相同大小的模型时 R2 最有效。

R-Sq(调整)

在想要比较具有不同数量的预测变量的情况下,使用调整的 R2。如果向模型添加预测变量,即使模型没有实际改善,R2 也会始终增加。调整的 R2 值包含模型中的预测变量数,以便帮助您选择正确的模型。

R-Sq(预测)

使用预测的 R2 可确定模型对新观测值的响应进行预测的程度。 具有较大预测 R2 值的模型的预测能力也较出色。

实质上小于 R2 的预测的 R2 可能表明模型过度拟合。在向总体中添加不太重要的影响项的情况下,可能会发生过度拟合模型。模型针对样本数据而定制,因此可能对于总体预测不太有效。

在比较模型方面,预测的 R2 还可能比调整的 R2 更有效,因为它是用模型计算中未包含的观测值计算得出的。

解释 R2 值时,考虑以下点:
  • 样本数量较小则不能提供对于响应变量和预测变量之间关系强度的精确估计。如果需要 R2 更为精确,则应当使用较大的样本(通常为 40 或更多)。

  • R2 只是模型拟合数据优度的一种度量。即使模型具有高 R2,您也应当检查残差图,以验证模型是否符合模型假设。

模型汇总 R-sq(调 R-sq(预 S R-sq 整) 测) 19.1185 99.73% 99.61% 99.39%
主要结果:S、R-sq、R-sq(调整)、R-sq(预测)

在这些结果中,模型解释了面板玻璃样本的光输出中 99.73% 的变异。对于这部分数据,R2 值表明模型提供了对数据的良好拟合。如果其他模型与不同的预测变量拟合,请使用调整的 R2 值和预测的 R2 值来比较模型与数据的拟合度。

步骤 3:确定模型是否符合分析的假设条件

使用残差图可帮助您确定模型是否适用并符合分析的假设。如果不符合此假设,则模型可能无法充分拟合数据,在解释结果时应当格外小心。

有关如何处理残差图模式的更多信息,请转到拟合一般线性模型的残差图,然后单击页面顶部列表中残差图的名称。

残差与拟合值图

使用残差与拟合值图可验证残差随机分布和具有常量方差的假设。理想情况下,点应当在 0 的两端随机分布,点中无可辨识的模式。

下表中的模式可能表示该模型不满足模型假设。
模式 模式的含义
残差相对拟合值呈扇形或不均匀分散 异方差
曲线 缺少高阶项
远离 0 的点 异常值
在 X 方向远离其他点的点 有影响的点
在这个残差与拟合值图中,数据似乎随机分布在零附近。没有证据表明残差值取决于拟合值。

残差与顺序图

使用残差与顺序图可验证残差独立于其他残差的假设。当以时序显示时,独立残差不显示趋势或模式。点中的模式可能表明,彼此相近的残差可能相关联,因此并不独立。理想情况下,图中的残差应围绕中心线随机分布:
如果查看模式,便可查出原因。下列类型的模式可能表明残差属于依赖项。
趋势
偏移
周期
在此残差图和顺序图中,残差似乎会围绕中心线随机衰减。没有证据表明残差为非独立的。

残差的正态概率图

使用残差正态概率图可验证残差呈正态分布的假设。残差的正态概率图应该大致为一条直线。

下表中的模式可能表示该模型不满足模型假设。
模式 模式的含义
非直线 非正态性
远离直线的点 异常值
斜率不断变化 未确定的变量
在此正态概率图中,点通常为一条直线。没有证据表明存在非正态性、异常值或未确定的变量。
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