Demonstração do teorema central do limite

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O Teorema Central do Limite afirma que se amostras aleatórias de tamanho n foram obtidas repetidamente de uma população com média mu(y) e desvio padrão sigma(y) finitos, então quando n for grande, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal quando a média for igual a mu(y) e o desvio padrão for igual a (sigma(y))/raiz quadrada(n).

Vamos examinar os efeitos do Teorema Central do Limite com o seguinte experimento. Suponha que você jogue um dado não viciado 1000 vezes. Você esperaria obter um número igual de 1as, 2as, etc. Vamos examinar a distribuição de 1000 lançamentos. Isso é mostrado no Gráfico 1.

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Agora suponha que você jogue os dados duas vezes e calcule a média dos dois lançamentos. Você repetirá este experimento 1000 vezes. Vamos ver como fica a distribuição das médias de dois lançamentos. Isso é mostrado no Gráfico 2.

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Você notou que, com apenas dois lançamentos, a distribuição das médias já estava tomando forma Suponha que você agora jogue o dado três vezes e faça a média dos três lançamentos. Você também repetirá este experimento 1000 vezes. Vamos ver o efeito que isso tem sobre a distribuição das médias. Isso é mostrado no Gráfico 3.

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Mais uma vez, o formato da distribuição é bastante próximo do de uma distribuição normal. Você notou alguma coisa a mais que estava acontecendo com a distribuição?

Vamos jogar o dado cinco vezes e calcular a média. Você também repetirá este experimento 1000 vezes. Isso é mostrado no Gráfico 4.

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Você já consegue observar algum padrão no que está acontecendo?

Vamos continuar a aumentar o número de lançamentos para calcular a média. Desta vez você jogará o dado 10 vezes e calculará a média dos 10 lançamentos. Isso é mostrado no Gráfico 5.

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Agora você já deve ver dois fenômenos ao aumentar o número de lançamentos. Primeiro, a forma da distribuição das médias está começando a se parecer com uma distribuição normal. Segundo, você deve poder ver que, à medida que o número de lançamentos aumenta, a distribuição se torna cada vez mais estreita. Vamos continuar a aumentar o número de lançamentos. Desta vez você jogará o dado 20 vezes. Isso é mostrado no Gráfico 6.

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Neste ponto você já deverá estar convencido dos efeitos do aumento do número de lançamentos sobre a distribuição das médias amostrais. Você aumentará o número de lançamentos mais uma vez para reforçar esta ideia. Desta vez você jogará o dado 30 vezes. Isso é mostrado no Gráfico 7.

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Vamos analisar o que você viu.

Você traçará os histogramas para tamanhos amostrais de 2, 5, 10, 20 e 30 juntos em um único gráfico para ver as mudanças na distribuição.

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O Teorema do Limite Central diz o que você deveria ver, em teoria. Vamos comparar isso com o que você realmente observou:

Resultados Teóricos Resultados Observados------------------- ---------------- Amostra Padrão Tamanho Padrão Média Desvio Média Desvio------ ---- --------- ----- --------- 1 3,5 1,707825 3,453 1,7041 2 3,5 1,207615 3,527 1,2320 3 3,5 0,986013 3,546 0,9503 5 3,5 0,763763 3,481 0,7532 10 3,5 0,540062 3,506 0,5289 20 3,5 0,381879 3,510 0,3891 30 3,5 0,311805 3,507 0,3148