Métodos e fórmulas para Teste de Mann-Whitney

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Neste tópico

Estatística de teste
Classificação de valores empatados
Valor p
Estimativa de ponto
Intervalo de confiança

Estatística de teste

O Minitab calcula a estatística de Mann-Whitney da seguinte maneira:

O Minitab classifica as duas amostras combinadas. O Minitab dá a menor classificação de observação 1, a segunda menor classificação de observação 2, e assim por diante.
Se duas ou mais observações estão empatadas, o Minitab atribui a classificação média a ambas as observações.
O Minitab soma as classificações da primeira amostra.

Classificação de valores empatados

Valores empatados ocorrem quando duas ou mais observações são iguais. Se os seus dados têm valores empatados, o Minitab classifica os dados da seguinte forma:

Organiza as observações em ordem crescente.
Atribui classificações a cada observação como se não houvesse nenhum vínculo.
Para um conjunto empatado, pegue a média das classificações correspondentes e atribua esse valor como a novo classificação para cada valor empatado nesse conjunto.

Exemplo

Uma amostra tem 9 observações: 2,4, 5,3, 2,4, 4,0, 1,2, 3,6, 4,0, 4,3 e 4,0

	Observação	Classificação (assumindo que não há empate)	Classificação
	1,2	1	1
Empatado	2,4	2	2,5
Empatado	2,4	3	2,5
	3,6	4	4
Empatado	4,0	5	6
	4,0	6	6
	4,0	7	6
	4,3	8	8
	5,3	9	9

O Minitab também utiliza as seguintes informações para calcular a estatística de teste:

O número de conjuntos de empates é 2.
O número de valores empatados que está no 1º conjunto é 2.
O número de valores empatados que está no 2º conjunto é 3.

Valor p

Fórmula

O teste de Mann-Whitney utiliza um método de aproximação normal para determinar o valor de p do teste.

é aproximadamente distribuído como uma distribuição normal com uma média de 0 e um desvio padrão de 1, N(0,1).

O valor de p com aproximação normal para as três hipóteses alternativas usa uma correção de continuidade de 0,5.

Hipótese alternativa	Valor p
H₁: η₁ > η₂
H₁: η₁ < η₂
H₁: η₁ ≠ η₂

Se os dados contêm empates, o Minitab ajusta o valor de p, substituindo o denominador da acima da estatística de Z por:

O valor de p ajustado é geralmente mais preciso do que o valor de p não ajustado. No entanto, o valor de p não ajustado é a estimativa mais conservadora, porque é sempre maior do que o valor de p ajustado para um determinado par de amostras.

Notação

Termo	Descrição
W	Estatísticas de teste de Mann-Whitney
n	tamanho da mostra 1
m	tamanho da amostra 2
η₁	mediana da amostra 1
η₂	mediana da amostra 2
k
ii	1, 2, …, I
I	o número de conjuntos de empates
t_i	número de valores empatados no i^o conjunto de empates

Estimativa de ponto

O algoritmo de aproximação que o Minitab usa para calcular a estimativa do ponto de η₁ – η₂é descrito neste artigo: J.W. McKean e T.A. Ryan, Jr. (1977). "An Algorithm for Obtaining Confidence Intervals and Point Estimates Based on Ranks in the Two Sample Location Problem", Transactions on Mathematical Software, 183–185.

Intervalo de confiança

O intervalo de confiança de η₁ – η₂ é definido como o intervalo de valores de η₁ – η₂ para o qual a hipótese nula não é rejeitada.

O método que o Minitab utiliza para calcular o intervalo de confiança é descrito neste artigo: J.W. McKean e T.A. Ryan, Jr. (1977). "An Algorithm for Obtaining Confidence Intervals and Point Estimates Based on Ranks in the Two Sample Location Problem", Transactions on Mathematical Software, pp.183-185.