Métodos e fórmulas para métodos de estimativa em Análise de distribuição não paramétrica (censura arbitrária)

O estimador de Kaplan-Meier, também conhecido como o estimador de limite de produto, pode ser usado para calcular as probabilidades de sobrevivência para os conjuntos de dados não paramétricos com várias falhas e suspensões. A equação do estimador é dada por:

com S(t₀) = 1 e t₀ = 0.

Função de risco empírico

A função de risco descreve a taxa de falha para um intervalo. A função de risco é 0 antes da primeira observação censurada. A função de risco muda apenas com observações não censuradas. O Minitab não representa graficamente a função de risco após o último ponto de dados sem censura.

Quando existem empates, o Minitab usa a maior posto no empate para estimar a função de risco. Consulte Nelson¹ para obter mais detalhes.

Tempo médio até a falha

Para dados sem censura, o tempo médio até a falha é igual ao tempo médio de falha. A fórmula geral a ser usada com dados censurados ou sem censura segue abaixo:

Além disso, quando a maior observação é censurada, o Minitab trata o tempo de maior observação sem censura como um limite de tempo para o cálculo. Consulte Lee² para obter mais detalhes.

Erro padrão de MTTF

O erro padrão do tempo médio até a falha é a raiz quadrada da variância. Quando todas as observações são sem censura, o Minitab calcula uma estimativa não viciada:

Para os casos em que alguns dados são censurados, a estimativa não viciada da variância é a fórmula a seguir:

Por causa da forma da função de risco empírico, as áreas sob a curva de sobrevivência, A_r, são retângulos com alturas iguais para a função de sobrevivência e comprimentos iguais aos intervalos entre as observações não censuradas.

Notação

Termo	Descrição
tr	tempo do ponto de dados com posto r
r	posto do ponto de dados, onde a falha mais antiga tem o posto mais baixo
n	número total de unidades
δr	0 se a ja observação for censurada ou 1 se a ja observação for sem censura
c	número de pontos de dados até a próxima observação sem censura
S(tr)	função de sobrevivência empírica no tempo tr
	estresse de falha média
Ar	área sob a curva do gráfico de sobrevivência à direita de tr
m	número total de observações sem censura

Referências

1. W. Nelson (1982). Applied Life Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc. 133.

2. Elisa T. Lee (1992). Statistical Methods for Survival Data Analysis, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. 73-76.

O modelo atuarial é uma análise não paramétrica alternativa que exibe informações para grupos de tempos de falha. O método de Kaplan-Meier assume que as suspensões em um intervalo ocorrem no final desse intervalo, depois que as falhas ocorreram. O modelo atuarial do Minitab assume que as suspensões ocorrem no meio do intervalo, que tem o efeito de reduzir o número de unidades disponíveis no intervalo. A estimativa da função de sobrevivência usando o método atuarial é da seguinte maneira:

para i = 0

Para i > 0

Função de risco empírico

A função de risco descreve a taxa de falha para um intervalo. Com estimativa atuarial, você assume que o cálculo é para o ponto médio do intervalo. No gráfico de risco, a função é desenhada a partir de um ponto médio para outro. Para obter mais detalhes, consulte as referências a seguir na seção Notação.

Notação

Termo	Descrição
ni	o número de unidades a serem inseridas em um intervalo
di	o número de falhas no intervalo
n'i
	o número censurado em um intervalo
	a probabilidade condicional de um evento, que é igual a di/n'i
tmi	tempo no ponto médio do intervalo atuarial
bi	o comprimento do intervalo atuarial

Referências

Collett, D. (1994) Modelling Survival Data in Medical Research, Chapman and Hall.

Lee, Elisa T. (1992) Statistical Methods for Survival Data Analysis, 2nd Edition, John Wiley & Sons.

Turnbull^{1, 2} desenvolveu um algoritmo iterativo para calcular uma estimativa de máxima verossimilhança não paramétrica da função distribuição acumulada para os dados. Este método se aplica a situações mais gerais, por exemplo, em que os intervalos se sobrepõem.

O Minitab exibe a saída resumindo a estimativa de Turnbull das probabilidades de intervalo, juntamente com os erros padrão para estas probabilidades.

Referências

Independentemente do método de estimativa, o Minitab usa uma aproximação normal para calcular intervalos de confiança. Os intervalos de confiança são como a seguir:

Fórmula

Estimativa da probabilidade de sobrevivência z_α × Erro padrão da estimativa

Notação

Termo	Descrição
zα	o valor crítico superior para a distribuição normal padrão
α	o nível de confiança