Métodos e fórmulas para os coeficientes e equação de regressão para Ajuste Modelo de Cox em Formato de Processo de Contagem

O modelo de riscos proporcionais cox semi-paramétricos usa os valores preditor para um indivíduo, , para prever a pontuação de risco, . O processo tem as seguintes etapas gerais:

em que o vetor de coeficientes estimados Os coeficientes estimados podem incluir valores para termos de ordem mais elevados, como os quadrados de preditores contínuos. O escore de risco estimado é válido durante todo o período de estudo e não depende do tempo. Na saída, a equação tem a seguinte forma onde uma equação separada aparece para diferentes níveis de fatores categóricos:

Deixe que a função de probabilidade parcial de log para o modelo de riscos proporcionais cox seja . O modelo completo maximiza a função log-verossimilhança, , dá os coeficientes estimados para o modelo. Achar , defina os derivados parciais da função de probabilidade parcial de log igual a zero e resolva as equações para . Minitab Statistical Software usa o método de iteração Newton-Raphson para resolver as equações. Veja Murray (1972)¹ para uma descrição do método iterativo Newton-Raphson.

O vetor de derivativos parciais da função de probabilidade parcial de log depende se a variável de resposta inclui tempos de evento amarrados. Se a variável de resposta incluir laços, então a estimativa usa a aproximação de Efron ou a aproximação de Breslow. Se a variável resposta não tiver laços, todos os 3 métodos fornecem as mesmas estimativas. Quanto menos vínculos estão nos dados, mais próximos são os resultados dos dois métodos de aproximação. Quanto mais laços estão nos dados, mais a aproximação do Efron melhora na aproximação de Breslow.

Os cálculos utilizam a seguinte definição:

Termo	Descrição
	o vetor de valores covariados que corresponde à unidade amostral com o tempo de evento

Dados sem vínculos

Os cálculos para dados sem vínculos utilizam as seguintes definições:

Termo	Descrição
	o número de vezes de evento
	o risco definido no momento , que é o conjunto de todas as unidades amostrais que ainda não falharam antes do tempo
	uma variável de contagem para o número de parâmetros no modelo, Em que o número de termos no modelo

A função de probabilidade parcial para o modelo de riscos proporcionais cox sem vínculos tem a seguinte forma:

A função de perda tem a seguinte forma:

O vetor de derivativos parciais em relação aos componentes de , tem a seguinte forma:

de modo que a derivada parcial para um coeficiente específico, , tem a seguinte forma:

Dados com vínculos

Os cálculos para dados com vínculos utilizam as seguintes definições:

Termo	Descrição
	O número de eventos entre o
	o conjunto de todas as unidades amostrais que têm o evento no momento
	o risco definido no momento , que é o conjunto de todas as unidades amostrais que ainda não falharam antes do tempo

Além disso, vamos

Aproximação da Efron para dados com vínculos

A função de perda tem a seguinte forma:

A função de perda tem a seguinte forma:

de modo que a derivada parcial para um coeficiente específico, , tem a seguinte forma:

Aproximação de Breslow para dados com vínculos

A função de perda tem a seguinte forma:

A função de perda tem a seguinte forma:

de modo que a derivada parcial para um coeficiente específico, , tem a seguinte forma:

Os erros padrão dos coeficientes são as raízes quadradas dos elementos diagonais da matriz de covariância. A matriz de variância-covariância tem a seguinte forma:

onde a matriz de informação observada, depende de se a variável de resposta inclui tempos de evento amarrados. Se a variável de resposta incluir laços, então a estimativa usa a aproximação de Efron ou a aproximação de Breslow. Se a variável resposta não tiver laços, todos os 3 métodos fornecem as mesmas estimativas. Quanto menos vínculos estão nos dados, mais próximos são os resultados dos dois métodos de aproximação. Quanto mais laços estão nos dados, mais a aproximação do Efron melhora na aproximação de Breslow.

Dados sem vínculos

O elemento (k, l) da matriz de informação observada de Fisher tem a seguinte forma:

onde o elemento (k, l) da matriz hessiana para a função de probabilidade de log parcial tem a seguinte forma:

Aproximação da Efron para dados com vínculos

O elemento (k, l) da matriz de informação observada de Fisher tem a seguinte forma:

onde o elemento (k, l) da matriz hessiana para a função de probabilidade de log parcial tem a seguinte forma:

em que

e

Aproximação de Breslow para dados com vínculos

O elemento (k, l) da matriz de informação observada de Fisher tem a seguinte forma:

onde o elemento (k, l) da matriz hessiana para a função de probabilidade de log parcial tem a seguinte forma:

em que

e

A função de perda tem a seguinte forma:

em que O que é o erro padrão do coeficiente? . O valor-p de é a raiz quadrada positiva do elemento k^th diagonal de .

Um intervalo de confiança aproximado de 100(1 – α)% é dado pela seguinte fórmula:

em que o ponto percentil superior α da distribuição normal padrão

Para um modelo que inclui uma variável categórica com níveis de s como variável de estratificação, os coeficientes de regressão são constantes em todos os estratos. A estimativa dos coeficientes de regressão no modelo estratificado tem o mesmo processo do modelo de riscos proporcionais sem estratificação. Para o modelo estratificado, a função de probabilidade parcial de log tem a seguinte forma:

em que é a probabilidade parcial de registro dentro do estrato j. Soma os derivados em cada estrato para obter as equações de probabilidade parcial. Os derivados em cada estrato são os mesmos que os derivados para o modelo de riscos proporcionais sem estratificação. Os métodos Breslow e Efron aplicam-se em conformidade.