Métodos para Regressão de mínimos quadrados parciais

O Minitab usa o algoritmo de mínimos quadrados parciais iterativos não-lineares (NIPALS) desenvolvido por Herman Wold¹ para solucionar problemas associados a dados mal condicionados. O PLS reduz o número de preditoras extraindo componentes não-relacionados com base na covariância entre a preditora e as variáveis de resposta. O PLS é similar à regressão dos principais componentes e da regressão de ridge, mas varia em seu método computacional.

O algoritmo do PLS produz uma sequência de modelos, onde cada modelo consecutivo contém um componente adicional. Os componentes são calculados um de cada vez, iniciando com a matriz x- e y- padronizadas. Os componentes subsequentes são calculados a partir da matriz residual X- e y-, as iterações param ao alcançar o número máximo de componentes ou quando os resíduos x- tornam-se a matriz zero. Se o número de componentes for igual ao número de preditoras, o modelo PLS é igual ao modelo de regressão de mínimos quadrados. A validação cruzada é usada para identificar o número de componentes que minimiza o erro da predição.

O PLS realiza a decomposição em ambas, preditoras e respostas simultaneamente. Após o Minitab determinar o número de componentes e calcular as cargas fatoriais, ele calcula os coeficientes de regressão para cada preditora. Para obter informações mais detalhadas sobre PLS e NIPALS consulte ²³⁴.

Calcula a capacidade preditiva dos modelos potenciais para ajudá-lo a determinar o número apropriado de componentes para reter em seu modelo. Quando os dados contêm variáveis de resposta múltipla. O Minitab valida os componentes para todas as respostas simultaneamente.

Procedimento de validação cruzada

Para cada modelo potencial, o Minitab:

1. Omite uma observação ou grupo de observações, dependendo do método de validação cruzada que você usa.
2. Recalcula o modelo sem a observação/grupos de observações.
3. Prediz a resposta ou o valor ajustado da validação cruzada para a observação/grupo de observações omitido usando-se o modelo recalculado e calcula o valor residual da validação cruzada.
4. Repete as etapas de 1 a 3 até que todas as observações tenham sido omitidas e ajustadas.
5. Calcula a soma de quadrados predita (PRESS) e os valores R² preditos.

Após efetuar as etapas de 1 a 5 para cada modelo, o Minitab seleciona o modelo com o número de componentes que produz o R² mais alto predito e o menor PRESS. Com variáveis de resposta múltipla, o Minitab seleciona o modelo com o maior R² médio predito e o menor PRESS médio.