Métodos e fórmulas para Regressão logística ordinal

O Minitab fornece três funções de ligação: logit (o padrão), normit e gompit. As funções de ligação permitem ajustar uma ampla variedade de modelos de resposta ordinal. O logit é o inverso da função de distribuição logística acumulada padrão. A função normit, também conhecida como probit, é o inverso da função de distribuição normal acumulada padrão. A função gompit, também conhecida como log-log complementar, é o inverso da função de distribuição Gompertz.

Fórmula

g(χ_k) = θ_k +x'β, k = 1, ..., K-1

Uma função de ligação é o inverso de uma função de distribuição. As funções de ligação e suas distribuições correspondentes são resumidas a seguir:

Notação

Descreve um conjunto único de valores de fator/covariável em um conjunto de dados. O Minitab calcula probabilidades de evento, resíduos e outras medidas diagnósticas para cada padrão de fator/covariável.

Por exemplo, se um conjunto de dados inclui os fatores sexo e raça e a covariável idade, a combinação dessas preditoras pode conter tantos padrões de covariáveis diferentes quanto de indivíduos. Se um conjunto de dados só inclui os fatores raça e sexo, cada um codificado em dois níveis, só há quatro padrões de fator/covariáveis possíveis. Se você inserir seus dados como frequências, ou como sucessos, tentativas ou falhas, cada linha conterá um padrão de fator/covariável.

As probabilidades de evento são as π_k para k = 1, 2, ..., K.

Fórmula

Notação

A probabilidade de que a resposta caia na categoria k ou abaixo, para cada k possível. A k^ésima probabilidade acumulada é:

Fórmula

P(yk) = p₁ + ... + p_k,k = 1, ... , K

As probabilidades acumuladas reflete a ordem da resposta. Para um modelo com k categorias de resposta:

P(y 1) <P(y 2) … P(yK) = 1

Como a soma das probabilidades é igual a 1, nenhuma probabilidade é calculada para a última categoria. Os logits das primeiras K - 1 probabilidades acumuladas são:

O Minitab usa o modelo de chances proporcionais onde um vetor das preditoras, x, tem um parâmetro β que descreve o efeito do x nas log de chances da resposta na categoria k ou abaixo. O Minitab supõe um efeito idêntico de x para todas as categorias K – 1, portanto somente 1 coeficiente é calculado para cada preditora. O coeficiente da preditora indica que para qualquer k fixo, a mudança estimada no logit da resposta quando a preditora estiver em um nível comparado ao nível de referência.

O Minitab estima uma constante para cada categoria K – 1. Use as estimativas de parâmetro para calcular as probabilidades estimadas para cada categoria usando o modelo para as probabilidades acumuladas:

Fórmula

Os coeficientes estimados são calculados usando-se um método de mínimos quadrados reponderados iterativo, que é equivalente à estimativa de máxima verossimilhança.^1,2

Referências

A estatística-Z usada para determinar se a preditora está significativamente relacionada à resposta. Valores absolutos maiores de Z indicam uma relação significativa. O valor-p indica on Z cai na distribuição normal.

Fórmula

Z = β_i / erro padrão

A fórmula da constante é:

Z = θ_k / erro padrão

Para pequenas amostras, o teste de razão de verossimilhança pode ser um teste mais confiável de significância.

Usado nos testes de hipóteses para ajudá-lo a decidir se deve rejeitar ou não rejeitar uma hipótese nula. O valor-p é a probabilidade de se obter uma estatística de teste que seja pelo menos tão extrema quanto o valor calculado real, se a hipótese nula for verdadeira. Um valor cortado comumente usado para o valor-p é 0,05. Por exemplo, se o valor-p calculado de uma estatística de teste for menor do que 0,05, você rejeita a hipótese nula.

O Minitab usa um modelo de chances proporcional para regressão logística ordinal. Somente um parâmetro e um razão de chances são calculados para cada preditora. A razão de chances utiliza probabilidades acumuladas e seus complementos. Para uma preditora com 2 níveis x₁ e x₂, a razão de chances acumuladas é:

Fórmula

Fórmula

O intervalo de confiança da amostra maior para β_i é:

β _i + Z_{α /2}* (erro padrão)

Para obter o intervalo de confiança das razões de chances, exponencie os limites inferior e superior do intervalo de confiança. O intervalo fornece a amplitude no qual as chances podem se encaixar para cada mudança de unidade na preditora.

Notação

Derivado das funções de densidade de probabilidade individual, a expressão é maximizada para resultar de valores ótimos de β. O log-verossimilhança não pode ser usado sozinho como uma medida de ajuste porque ele depende do tamanho da amostra, mas pode ser usado para comprar dois modelos.

Para regressão logística ordinal, há n vetores multinomiais independentes, cada um comk categorias. Essas observações são denotadas por y₁, ..., y_n, onde y_i = (y_i1, ..., y_ik) e Σ_jy_ij = m_i está fixa para cada i. A partir da i^ésima observação y_i, a contribuição para a log-verossimilhança é:

Fórmula

L(π_i ; y_i) = Σ_ky_ik log π_ik

A log-verossimilhança total é uma soma das contribuições de cada uma das observações n:

L(π ; y) = Σ_i L(π_i; y_i)

Notação

Uma matriz quadrada com as dimensões p + K – 1. A variância de cada coeficiente está na célula diagonal e a covariância de cada par de coeficientes está na célula fora da diagonal apropriada. A variância é o erro padrão do coeficiente quadrado.

A matriz de variância-covariância é assintótica e é obtida da iteração final do inverso da matriz de informação.

Notação

Pares concordantes e discordantes indicam quão bem o modelo prediz os dados. Quanto mais pares concordantes você tem, melhor é a capacidade preditiva do modelo.

A tabela de pares concordantes, discordantes e empatados é calculada ao formar todos os pares possíveis de observações com valores de resposta diferentes. Suponha que os valores de resposta sejam 1, 2 e 3. O Minitab pareia cada observação com o valor de resposta 1 com todas as observações com valores de resposta de 2 e 3 e depois pareia todas as observações com o valor de resposta 2 com todas as observações com valores de resposta 1 e 3. O número total de pares é igual ao número de observações com resposta de 1 multiplicado pelo número de observações com a resposta de 2 mais o número de observações com resposta de 1 multiplicado pelo número de observações com a resposta de 3 mais o número de observações com resposta de 2 multiplicado pelo número de observações com a resposta de 3.

Para determinar se os pares são concordantes ou discordantes, o Minitab calcula as probabilidade acumuladas preditas de cada observação e compara esses valores para cada par de observações.

Concordante

Para pares que incluem o menor valor de resposta (no exemplo acima, que é 1), um par é concordante se a probabilidade acumulada até o menor valor de resposta for maior para a observação com o menor valor de resposta do que para a observação com o maior valor de resposta. Para pares com os maiores valores de resposta (no exemplo acima, os pares com 2 e 3), um par é concordante se a probabilidade acumulada de até 2 for maior para a observação com o valor de resposta 2 do que a observação com o valor de resposta 3.

Discordante

Para pares que incluem o menor valor de resposta (no exemplo acima, que é 1), um par é discordante se a probabilidade acumulada até o menor valor de resposta for maior para a observação com o maior valor de resposta do que para a observação com o menor valor de resposta. Para pares com os maiores valores de resposta (no exemplo acima, pares com 2 e 3), um par é discordante se a probabilidade acumulada de até 2 for maior para a observação com o valor de resposta 3 do que a observação com o valor de resposta 2.

Empates

Um par está empatado se as observações tiverem probabilidades acumuladas iguais.

Fórmula

Na tabela de concordantes, discordantes e pares empatados, o Minitab calcula as seguintes medidas de resumo:

Notação