Métodos e fórmulas para estimativas de parâmetro em Regressão não-linear

Impor restrições de parâmetro transformando os parâmetros.¹

Se	Então
a < θ	θ = a + exp( φ )
θ < b	θ = b - exp( φ )
a < θ < b	θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))

Termo	Descrição
a e b	constantes numéricas
De θ	parâmetros
φ	parâmetros transformados

O Minitab realiza essas transformações e exibe os resultados em termos dos parâmetros originais.

1. Bates and Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.

O erro padrão aproximado da estimativa de θ_p é o S vezes a raiz quadrada do elemento diagonal p de , que é escrito como:

onde e_p é um P por 1 vetor com elemento p igual a 1 e todos os outros elementos iguais a 0. O Minitab calcula:

por retrossolução:

Notação

Termo	Descrição
n	nésima observação
N	número de observações total
p	número de parâmetros livres (não bloqueados)
R	a matriz R (triangular superior) da decomposição de QR de Vi para a iteração final
V0	matriz de gradiente = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), o P por 1 vetor de derivativos parciais de f(x0, θ), avaliado em θ*
S

A matriz de variância-covariância aproximada das estimativas de parâmetro é:

A correlação aproximada entre as estimativas de θ_p e θ_q é:

Como R é triangular, o Minitab pode obter seu inverso retrossolucionando em vez de por um algoritmo de inversão de propósito geral.

Notação

Termo	Descrição
R	a matriz R (triangular superior) da decomposição de QR de Vi para a iteração final
P	número de parâmetros livres (não bloqueados)
v0	matriz de gradiente = ( ∂f(xn, θ) / ∂θ p), o P por 1 vetor de derivativos parcial de f( x0, θ), avaliado em θ*
De θ	parâmetros

Permita θ = (θ₁, . . . . θ_p) * com θ* sendo a iteração final para θ.

Os limites de confiança baseados na probabilidade de 100 (1 - α) % satisfazem:

onde S( θ_p ) é o SSE obtido ao manter o θ_p fixo e minimizando sobre os outros parâmetros.¹ Isso é equivalente à solução:

S(θ_p) = S(θ*) + (t_α/2)² MSE

Notação

Termo	Descrição
De θ	parâmetros
n	nésima observação
N	número de observações total
P	número de parâmetros livres (não bloqueados)
tα/2	ponto superior α/2 da distribuição t com N - P graus de liberdade
S(θ)	Soma do erro quadrado
MSE	erro quadrado médio