Neste tópico
A família exponencial e funções de ligação
A extensão dos modelos lineares clássicos para modelos lineares generalizados tem duas partes: uma distribuição da família exponencial e uma função de ligação.
A família exponencial
A primeira parte estende o modelo linear às variáveis de resposta que são membros de uma grande família de distribuições chamada a família exponencial. Os membros da família exponencial de distribuições têm funções de distribuição de probabilidade para uma resposta observada nesta forma geral:
onde a(∙), b(∙) e c(∙) dependem da distribuição da variável de resposta. O parâmetro θ é um parâmetro de localização é frequentemente chamado de parâmetro canônico, e ϕ é chamado de parâmetro de dispersão. A função a(ϕ) é normalmente da forma a(ϕ)= ϕ/ ω, onde ω é uma constante conhecida ou peso que pode variar de uma observação para outra. (No Minitab, quando os pesos recebem a função a(ϕ), eles são ajustados de forma correspondente.)
Membros da família exponencial podem ser distribuições discretas ou distribuições contínuas. Exemplos de distribuições contínuas que são membros da família exponencial são as distribuições normal e gama. Exemplos de distribuições discretas que são membros da família exponencial são distribuições binomiais e a Poisson. A tabela a seguir dá as características de algumas dessas distribuições.
| Distribuição | ϕ | b(θ) | a(φ) | c(y, ϕ) |
| Normal | σ2 | θ2/2 | φω |  |
| Binomial | 1 |  |
φ/ω | -ln(y!) |
| Poisson | 1 | exp(θ) | φ/ω |  |
A função de ligação
A segunda parte é a função de ligação. A função de ligação relaciona a média da resposta na iésima observação para uma preditora linear desta forma:
O modelo linear clássico é um caso especial desta fórmula geral onde a função de ligação é a função de identidade.
A escolha da função de ligação na segunda parte depende da distribuição específica da família exponencial da primeira parte. Em particular, cada distribuição na família exponencial tem uma função de ligação especial chamada de função de ligação canônica. Esta função de ligação satisfaz a equação g (μi) = Xi'β = θ, onde θ é o parâmetro canônico. A função de ligação canônica resulta em algumas propriedades estatísticas desejáveis do modelo. As estatísticas de qualidade do ajuste podem ser usadas para comparar ajustes usando-se diferentes funções de ligação. Determinadas funções de ligação podem ser usadas por motivos históricos ou porque elas têm um significado especial em uma disciplina. Por exemplo, uma vantagem da função de ligação logit é que ela fornece uma estimativa das razões de chances. Outro exemplo é que a função de ligação normit supões que exista uma variável subjacente que segue uma distribuição normal que é classificada em categorias binárias.
O Minitab fornece três funções de ligação para cada classe de modelos. As funções de ligação diferentes tornam possível encontrar modelos que adequadamente se ajustam a uma variedade mais ampla de dados.
Para modelos binomiais, as funções de ligação são logit, normit (também chamadas probit) e gompit (também chamada log-log complementar). Essas são o inverso da função de distribuição logística acumulada padrão (logit), o inverso da função de distribuição normal acumulada padrão (normit), e o inverso da função de distribuição Gompertz (gompit). O logit é a função de ligação canônica para modelos binomiais, assim, o logit é a função de ligação default.
Para modelos Poisson, as funções de ligação são o log natural, a raiz quadrada e a identidade. O log natural é a função de ligação canônica para modelos de Poisson, assim o log natural é a função de ligação default.
As funções de ligações são resumidas a seguir:
| Modelo | Nome | Função de ligação, g(μi) |
| Binomial | logit |  |
| Binomial | normit (probit) |  |
| Binomial | gompit (log-log complementar) |  |
| Poisson | log natural |  |
| Poisson | raiz quadrada |  |
| Poisson | identidade |  |
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
| μi | a resposta média da iésima linha |
| g(μi) | a função de ligação |
| X | o vetor das variáveis preditoras |
| β | o vetor dos coeficientes associados às preditoras |
 | a função de distribuição acumulada inversa da distribuição normal |
Coeficientes
[1] P. McCullagh and J. A. Nelder (1989). Generalized Linear Models, 2a. Ed., Chapman & Hall/CRC, Londres.
Erro padrão de coeficientes
W é uma matriz diagonal onde os elementos diagonais são dados pela seguinte fórmula:
onde
Esta matriz de variância-covariância está baseada na matriz Hessiana observada em oposição à matriz de informação de Fisher. O Minitab usa a matriz Hessiana observada porque o modelo que resulta é mais robusto contra qualquer especificação incorreta média condicional.
Se a ligação canônica for usada, a matriz Hessiana observada e a matriz de informações de Fisher são idênticas.
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
| yi | o valor de resposta da iésima linha |
 | a resposta média estimada da iésima linha |
| V(·) | a função de variância dada na tabela a seguir |
| g(·) | a função de ligação |
| V '(·) | o primeiro derivativo da função de variância |
| g'(·) | o primeiro derivativo da função de ligação |
| g''(·) | o segundo derivativo da função de ligação |
A função de variância depende do modelo:
| Modelo | Função de variância |
| Binomial |  |
| Poisson |  |
Consulte [1] e [2] para obter mais informações.
[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.
[2] P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.
Razões de chances para regressão logística binária
A razão de chances é fornecida somente se você selecionar a função de ligação do logit para um modelo com uma resposta binária. Neste caso, a razão de chances é útil na interpretação da relação entre uma preditora e uma resposta.
A razão de chances (q) pode ser qualquer número não negativo. A razão de chances de 1 serve como a linha de base para comparação. Se τ = 1, não há associação entre a resposta e a preditora. Se τ < 1, as chances do evento são maiores para o nível de referência do fator (ou para níveis mais altos de uma preditora contínua). Se τ > 1, as chances do evento são menores para o nível de referência do fator (ou para níveis menores de uma preditora contínua). Os valores mais distantes de 1 representam graus mais fortes de associação.
Observação
Para o modelo de regressão logística binária com uma covariável ou fator, as chances estimadas de sucesso são:
A relação exponencial fornece uma interpretação para β: as chances aumentam multiplicativamente por eβ1 para cada aumento de uma unidade em x. A razão de chances é equivalente a exp(β1).
Por exemplo, se βfor 0,75, a razão de chances é exp(0,75), que é 2,11. Isso indica que há um aumento de 111% nas chances de sucesso para cada aumento de uma unidade em x.
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
 | a probabilidade estimada de um sucesso para a iésima linha nos dados |
 | o coeficiente intercepto estimado |
 | o coeficiente estimado para preditora x |
 | o ponto de dados para a iésima linha |
Matriz de variância-covariância
Uma matriz d x d, onde d é o número de preditoras mais um. A variância de cada coeficiente está na célula diagonal e a covariância de cada par de coeficientes está na célula fora da diagonal apropriada. A variância é o erro padrão do coeficiente quadrado.
A matriz de variância-covariância é da iteração final do inverso da matriz de informação. A matriz de variância-covariância tem a seguinte forma:
W é uma matriz diagonal onde os elementos diagonais são dados pela seguinte fórmula:
onde
Esta matriz de variância-covariância está baseada na matriz Hessiana observada em oposição à matriz de informação de Fisher. O Minitab usa a matriz Hessiana observada porque o modelo que resulta é mais robusto contra qualquer especificação incorreta média condicional.
Se a ligação canônica for usada, a matriz Hessiana observada e a matriz de informações de Fisher são idênticas.
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
| yi | o valor de resposta da iésima linha |
 | a resposta média estimada da iésima linha |
| V(·) | a função de variância dada na tabela a seguir |
| g(·) | a função de ligação♣ |
| V '(·) | o primeiro derivativo da função de variância |
| g'(·) | o primeiro derivativo da função de ligação |
| g''(·) | o segundo derivativo da função de ligação |
A função de variância depende do modelo:
| Modelo | Função de variância |
| Binomial |  |
| Poisson |  |
Consulte [1] e [2] para obter mais informações.
[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.
[2] P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.
