Métodos e fórmulas para método de análise de variância em Análise de experimento de superfície de resposta

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Neste tópico

Soma dos quadrados ajustada
Soma de quadrados (SS)
Soma dos quadrados sequencial
Graus de liberdade (DF)
MS ajust – Modelo

MS Aj – Termo
MS Aj – Erro
F
Valor-p – Tabela Análise de Variância
Valor-p – teste de ajuste (lack-of-fit)

Soma dos quadrados ajustada

A soma dos quadrados ajustada não depende da ordem em que os termos são inseridos no modelo. A soma dos quadrados ajustada é a quantidade de variação explicada por um termo, tendo em conta todos os outros termos no modelo, independentemente da ordem em que os termos entram no modelo.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, a soma ajustada dos quadrados para X2 mostra quanto da variação restante do termo para X2 é explicada, considerando-se que os termos para X1 e X3 já estão no modelo.

Os cálculos para as somas dos quadrados ajustado para três fatores são:

SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) ou
SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

em que SSR(X3 | X1, X2) é a soma dos quadrados ajustada para X3, dado que X1 e X2 estão no modelo.

SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) ou
SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

em que SSR(X2, X3 | X1) é a soma dos quadrados ajustados para X2 e X3, dado que X1 está no modelo.

Você pode estender estas fórmulas se tiver mais de 3 fatores em seu modelo¹.

J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Soma de quadrados (SS)

Nos termos da matriz, estas são as fórmulas para as diferentes somas dos quadrados:

O Minitab decompõe o componente Modelo de SS na quantidade de variação explicada por cada termo ou conjunto de termos usando tanto a soma sequencial de quadrados como a soma ajustada de quadrados.

Notação

Termo	Descrição
b	vetor de coeficientes
X	matriz de planejamento
Y	vetor de valores de resposta
n	número de observações
J	n por n matriz de 1s

Soma dos quadrados sequencial

O Minitab decompõe a o componente de Modelo de SS da variância em somas dos quadrados sequenciais para cada termo do fator ou conjunto de termos do fator. As somas dos quadrados sequenciais dependem da ordem em que os fatores ou preditores e são inseridos no modelo. A soma dos quadrados sequencial é a única porção do modelo de SS que cada termo explica, dados quaisquer termos que foram inseridos anteriormente.

Por exemplo, se você tiver um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, a soma dos quadrados sequenciais para X2 mostram o quanto da variação restante X2 explica, dado que X1 já está no modelo. Para obter uma sequência de fatores diferente de termos, repita a análise e insira os elementos em uma ordem diferente.

Graus de liberdade (DF)

Diferentes somas de quadrados têm diferentes graus de liberdade.

DF para um fator numérico = 1

DF para um fator categórico = b − 1

DF para um termo quadrático = 1

DF para blocos = c − 1

DF para erro = n − p

DF para erro puro =

DF para teste de qualidade de ajuste (lack of fit) = m − p

DF total = n − 1

Para interações entre fatores, multiplique os graus de liberdade para os termos no fator. Por exemplo, se os fatores forem A e B, então, a interação AB tem estes graus de liberdade:

Para encontrar os graus de liberdade para um tipo de termo, some os graus de liberdade para os termos. Por exemplo, se os fatores forem A e B, então, os efeitos principais no modelo têm estes muitos graus de liberdade:

Observação

Os fatores categóricos em filtragens de experimentos no Minitab têm 2 níveis. Assim, os graus de liberdade para um fator categórico são 2 - 1 = 1. Por extensão, as interações entre fatores também têm um grau de liberdade.

Notação

Termo	Descrição
b	O número de níveis no fator
c	O número de blocos
n	O número de observações total
n_i	O número de observações para a i^a combinação de níveis de fatores
m	O número de combinações de níveis de fator
p	O número de coeficientes

MS ajust – Modelo

Notação

Termo	Descrição
	A média da variável de resposta.
	O i^o valor ajustado da resposta
p	O número de termos no modelo, não incluindo o termo constante

MS Aj – Termo

O cálculo para o quadrado médio (MS) para o termo modelo é:

MS Aj – Erro

O quadrado médio do erro (também abreviado como MS Erro ou MSE e denotado como s²) é a variação em torno da linha de regressão ajustada. A fórmula é:

Notação

Termo	Descrição
y_i	i ^o valor de resposta observada
	i^a resposta ajustada
n	número de observações
p	número de coeficientes no modelo, sem contar com a constante

F

O cálculo da estatística F depende do teste da hipótese alternativa como a seguir:

F(Termo)
F(teste de ajuste - Lack-of-fit)

Notação

Termo	Descrição
Termo de MS ajust	Uma medida da quantidade de variação que um termo explica após levar em conta os outros termos no modelo.
Erro de QM	Uma medida da variação de que o modelo não explica.
Falta de ajuste de QM	Uma medida da variação na resposta que poderia ser modelada adicionando-se mais termos ao modelo.
Erro puro de QM	Uma medida da variação em dados de resposta replicados.

J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Valor-p – Tabela Análise de Variância

O valor-p é a probabilidade que é calculada a partir de uma distribuição-f com graus de liberdade (DF) como a seguir:

DF do numerador: soma dos graus de liberdade para o termo ou os termos do teste
DF do denominador: graus de liberdade para erro

Fórmula

1 − P(F ≤ f_j)

Notação

Termo	Descrição
P(F ≤ f)	função de distribuição acumulada para a distribuição F
f	estatística F de teste

Valor-p – teste de ajuste (lack-of-fit)

Este valor-p é para o teste da hipótese nula de que os coeficientes são 0 por quaisquer termos que sejam possíveis de serem estimados a partir destes dados que não estão no modelo. O valor-p é a probabilidade de uma distribuição F com graus de liberdade (DF) como a seguir:

DF do numerador: graus de liberdade do teste de ajuste (lack-of-fit)
DF do denominador: graus de liberdade para erro puro

Fórmula

1 − P(F ≤ f_j)

Notação

Termo	Descrição
P(F ≤ f_j)	função de distribuição acumulada para a distribuição F
f_j	estatística F de teste