O modelo de efeitos mistos e o log-verossimilhança
A forma geral do modelo de efeitos mistos
Os modelos de efeito misto contêm efeitos fixos e aleatórios. A forma geral do modelo de efeitos mistos é:
y = Xβ + Z1μ1+ Z2μ2 + ... + Zcμc + ε
Notação
Termo
Descrição
y
o vetor n x 1 dos valores de resposta
X
a matriz de experimento n x p para os termos de efeito fixo, p ≤ n
β
um vetor p x 1 de parâmetros desconhecidos
a matriz de experimento n x mi para o termo aleatório no modelo
μi
um vetor mi x 1 de variáveis de independentes de N(0, )
ε
um vetor n x 1 de variáveis independentes de N(0, )
n
o número de observações
p
o número de parâmetros em
c
o número de termos aleatórios no modelo
Matriz de variância-covariância
Com base no pressuposto do modelo para a forma geral do modelo de efeitos mistos, o vetor de resposta, y, tem uma distribuição normal multivariada com vetor médio Xβ e a seguinte matriz de variância-covariância:
σ2, σ21, ... , σ2c são chamados componentes de variância.
Por fatoração da variância, você pode encontrar uma representação de H(θ), que está no cálculo da log-verossimilhança dos modelos de efeitos mistos.
V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]
Notação
Termo
Descrição
θi
, a razão da variância do termo aleatório sobre a variância do erro
Log-verossimilhança
Quando o modelo contiver um fator aleatório, por padrão, as estimativas de parâmetro desconhecido vêm da minimização em dobro do negativo da função de log-verossimilhança restrita. A minimização é equivalente à maximização da função de log-verossimilhança restrita. O Minitab usa um algoritmo iterativo para minimizar a função de log-verossimilhança restrita. A função para minimizar é:
Notação
Termo
Descrição
H
In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|
o determinante de H
H-1
o inverso de H
mi
o número de níveis para o termo aleatório
o erro do componente de variância
In
a matriz de identidade com n linhas e colunas
Estimativa de máxima verossimilhança restrita (REML)
Por padrão, o Minitab calcula estimativas dos parâmetros que maximizam a função de verossimilhança restrita, o que é equivalente a maximizar a seguinte função:
Para minimizar a função, o Minitab diferencia a função com relação a β, σ2 e θi e define os diferenciais iguais a 0:
onde
Rearranjo algébrico das duas primeiras equações para solucionar dos parâmetros estimados no que se refere à diferenciação dada às seguintes equações:
A derivativa com referência a não pode ser resolvida explicitamente para a . O Minitab usa o método de Newton para estimar com as etapas a seguir:
Use a Estimativa Não Viciada de Norma Mínima (MINQUE)12 dos componentes de variância para construir os valores iniciais de σ2 e θi.
Estime β e σ2 com as equações para e .
Encontre θi com o método de Newton para minimizar L(β, σ2, θ).
Repita as etapas 2 e 3 até a convergência.
As soluções convergidas para são as estimativas de razão de variância. O componente de variância para o termo aleatório é como segue:
Notação
Termo
Descrição
tr(·)
o traço da matriz
X'
a transposição do X
1 Rao, C.R. (1971 a). Estimativa de componentes de variância-covariância - teoria MINQUE. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b). Estimativa não viciada de norma mínima dos componentes de variância. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456.
termo aleatório no modelo
)
)
, a razão da variância do 
termo aleatório sobre a variância do erro
termo aleatório
não pode ser resolvida explicitamente para a 
. O Minitab usa o método de Newton para estimar 
com as etapas a seguir:
são as estimativas de razão de variância. O componente de variância para o 
termo aleatório é como segue:
