Métodos e fórmulas para análise de variância em MANOVA generalizada

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Neste tópico

Graus de liberdade (DF)
Soma de quadrados (SS)
Soma dos quadrados sequencial
Soma dos quadrados ajustada
MS Ajust – Regressão
MS Aj – Erro
F
Valor-p – Tabela Análise de Variância
Valor-p – teste de ajuste (lack-of-fit)

Graus de liberdade (DF)

Os graus de liberdade para cada componente do modelo são:

Fontes da variação	DF
Fator	k_i – 1
Covariáveis e interações entre covariáveis	1
Interações que envolvem fatores
Regressão	p
Erro	n – p – 1
Total	n – 1

Se os seus dados satisfizerem a determinados critérios e o modelo incluir pelo menos um preditor contínuo ou mais de um preditor categórico, o Minitab usa alguns graus de liberdade para o teste de ajuste (lack-of-fit). Os critérios são os seguintes:

Os dados contêm várias observações com os mesmos valores de preditor.
Os dados contêm os pontos corretos para estimar termos adicionais que não estão no modelo.

Notação

Termo	Descrição
k_i	número de níveis no i^o fator
m	número de fatores
n	número de observações
p	número de coeficientes no modelo, sem contar com a constante

Soma de quadrados (SS)

Nos termos da matriz, estas são as fórmulas para as diferentes somas dos quadrados:

O Minitab decompõe o componente Tratamentos SS ou Regressão SS na quantidade de variação explicada por cada termo usando tanto a soma sequencial de quadrados como a soma ajustada de quadrados.

Notação

Termo	Descrição
b	vetor de coeficientes
X	matriz do experimento
Y	vetor de valores de resposta
n	número de observações
J	n por n matriz de 1s

Soma dos quadrados sequencial

O Minitab decompõe a o componente de Regressão SS ou Tratamentos da variância em somas dos quadrados sequenciais para cada fator. As somas dos quadrados sequenciais dependem da ordem dos fatores preditores e são inseridas no modelo. A soma dos quadrados sequencial é a parte única da Regressão SS explicada por um fator, considerando-se todos os fatores inseridos anteriormente.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores ou preditores, X1, X2 e X3, a soma dos quadrados sequencial para X2 mostra quanto da variação restante é explicada por X2, considerando-se que X1 já está no modelo. Para obter uma sequência de fatores diferente, repita a análise e insira os elementos em uma ordem diferente.

Soma dos quadrados ajustada

A soma dos quadrados ajustada não depende da ordem em que os termos são inseridos no modelo. A soma dos quadrados ajustada é a quantidade de variação explicada por um termo, tendo em conta todos os outros termos no modelo, independentemente da ordem em que os termos entram no modelo.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, a soma ajustada dos quadrados para X2 mostra quanto da variação restante do termo para X2 é explicada, considerando-se que os termos para X1 e X3 já estão no modelo.

Os cálculos para as somas dos quadrados ajustado para três fatores são:

SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) ou
SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

em que SSR(X3 | X1, X2) é a soma dos quadrados ajustada para X3, dado que X1 e X2 estão no modelo.

SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) ou
SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

em que SSR(X2, X3 | X1) é a soma dos quadrados ajustados para X2 e X3, dado que X1 está no modelo.

Você pode estender estas fórmulas se tiver mais de 3 fatores em seu modelo¹.

J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

MS Ajust – Regressão

A fórmula para o Quadrado Médio (MS) da regressão é:

Notação

Termo	Descrição
	resposta média
	i^a resposta ajustada
p	o número de termos no modelo

MS Aj – Erro

O quadrado médio do erro (também abreviado como MS Erro ou MSE e denotado como s²) é a variação em torno da linha de regressão ajustada. A fórmula é:

Notação

Termo	Descrição
y_i	i ^o valor de resposta observada
	i^a resposta ajustada
n	número de observações
p	número de coeficientes no modelo, sem contar com a constante

F

Se todos os elementos no modelo forem fixos, então o cálculo de estatística de F depende do que trata teste de hipótese, como se segue:

F(Termo)
F(teste de ajuste - Lack-of-fit)

Se houver fatores aleatórios no modelo, F é construído utilizando os dados de quadrado médio esperado para cada termo. Para obter mais informações, consulte Neter et al.¹.

Notação

Termo	Descrição
Termo de MS ajust	Uma medida da quantidade de variação que um termo explica após levar em conta os outros termos no modelo.
Erro de QM	Uma medida da variação de que o modelo não explica.
Falta de ajuste de QM	Uma medida da variação na resposta que poderia ser modelada adicionando-se mais termos ao modelo.
Erro puro de QM	Uma medida da variação em dados de resposta replicados.

J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Valor-p – Tabela Análise de Variância

O valor-p é a probabilidade que é calculada a partir de uma distribuição-f com graus de liberdade (DF) como a seguir:

DF do numerador: soma dos graus de liberdade para o termo ou os termos do teste
DF do denominador: graus de liberdade para erro

Fórmula

1 − P(F ≤ f_j)

Notação

Termo	Descrição
P(F ≤ f)	função de distribuição acumulada para a distribuição F
f	estatística F de teste

Valor-p – teste de ajuste (lack-of-fit)

Este valor-p é para o teste da hipótese nula de que os coeficientes são 0 por quaisquer termos que sejam possíveis de serem estimados a partir destes dados que não estão no modelo. O valor-p é a probabilidade de uma distribuição F com graus de liberdade (DF) como a seguir:

DF do numerador: graus de liberdade do teste de ajuste (lack-of-fit)
DF do denominador: graus de liberdade para erro puro

Fórmula

1 − P(F ≤ f_j)

Notação

Termo	Descrição
P(F ≤ f_j)	função de distribuição acumulada para a distribuição F
f_j	estatística F de teste