Métodos e fórmulas para Intervalos de tolerância (distribuição normal)

Definições gerais

Deixe X ₁, X ₂, ..., X _n ser as estatísticas solicitadas com base na amostra aleatória de tamanho n a partir de alguma distribuição contínua.

Permita que a função de distribuição seja F(χ;θ) para Ω em algum espaço de parâmetro com dimensão maior ou igual a 1.

Permita que L < U seja duas estatísticas com base na amostra de tal modo que, para todos os valores indicados, α e P, com 0 < α < 1 e 0 < P < 1, o seguinte se mantém para todos os θ em Ω:

Assim, o intervalo [ L, U] é um intervalo de tolerância de bilateral com um conteúdo = P x 100% e nível de confiança = 100(1 – α)%. Tal intervalo pode ser chamado de intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P). Por exemplo, se α = 0,10 e P = 0,85, o intervalo resultante é chamado de intervalo de tolerância bilateral (90% , 0,85).

Se L = –∞ e U < +∞, o intervalo (-∞, U] é chamado de limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P). Se L > -∞ e U = +∞, o intervalo [L, +∞) é chamado de limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P).

Fator de tolerância para intervalos unilaterais

em que t_n-1,1-α(δ) é o percentil 1 – α de uma distribuição-t não central com n – 1 graus de liberdade e parâmetro de não centralidade, δ, que é dado pela seguinte fórmula:

Fator de tolerância para intervalos bilaterais

O fator de tolerância exato para um intervalo bilateral é obtido por meio da resolução da seguinte equação para k. Consulte Krishnamoorthy e Mathew¹.

em que F_{n – 1} é a função de distribuição acumulada para uma distribuição de qui-quadrado com n – 1 graus de liberdade, e χ²_1,p é o P^o percentil da distribuição qui-quadrado não central com 1 grau de liberdade e parâmetro de não centralidade z². O lado esquerdo da equação pode ser reescrito como:

onde:

em que Φ(z) é a função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão. O Minitab usa uma quadratura Gauss-Legendre de 36 pontos para avaliar I(k, n, P).

Notação

Termo	Descrição
1 - α	o nível de confiança do intervalo de tolerância
P	a cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo)
L	o limite inferior do intervalo de tolerância
U	o limite superior do intervalo de tolerância
	a média da amostra
k	o fator de tolerância (também chamado de fator k)
S	o desvio padrão da amostra
n	o número de observações na amostra
ZP	o Po percentil da distribuição normal padrão

Intervalos unilaterais

Permita que k seja o maior inteiro que satisfaz o seguinte:

onde Y é uma variável aleatória binomial com n e 1 – P parâmetros. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew⁴) que um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) é dado por X_k . Da mesma forma, um limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P) é dado por X _{n - k +1}. Em ambos os casos, a cobertura real ou efetiva é dada pelo P(Y > k).

Intervalos bilaterais

Permita que k seja o menor inteiro que satisfaz o seguinte:

onde V é uma variável aleatória binomial com n e P parâmetros. Portanto,

onde F _V ^-1(x) é a função de distribuição acumulativa inversa do V. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew⁴) que um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P) pode ser dado como ( X_r , X_s ). O Minitab seleciona s = n - r + 1 de forma que r = ( n – k + 1) / 2. Tanto r como s são arredondados para baixo, para o inteiro mais próximo. A cobertura real ou efetiva é dada por P(V < k – 1).

Notação