Neste tópico
- Métodos do Intervalo de tolerância
- Intervalos de tolerância não paramétricos exatos para distribuições contínuas
- Distribuição lognormal
- Intervalos de tolerância aproximados para distribuições gama
- Distribuição exponencial
- Distribuição do menor valor extremo
- Distribuição Weibull
- Distribuição do maior valor extremo
- Distribuição logística
- Distribuição loglogística
- Teste de Anderson-Darling
Métodos do Intervalo de tolerância
- Lognormal
- Gama
- Exponencial
- Menor valor extremo
- Weibull
- Maior valor extremo
- Logística
- Loglogística
Definições gerais
Deixe X 1, X 2, ..., X n ser as estatísticas solicitadas com base na amostra aleatória de tamanho n a partir de alguma distribuição contínua.
Permita que a função de distribuição seja F(χ;θ) para Ω em algum espaço de parâmetro com dimensão maior ou igual a 1.
Permita que L < U seja duas estatísticas com base na amostra de tal modo que, para todos os valores indicados, α e P, com 0 < α < 1 e 0 < P < 1, o seguinte se mantém para todos os θ em Ω:
Assim, o intervalo [ L, U] é um intervalo de tolerância de bilateral com um conteúdo = P x 100% e nível de confiança = 100(1 – α)%. Tal intervalo pode ser chamado de intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P). Por exemplo, se α = 0,10 e P = 0,85, o intervalo resultante é chamado de intervalo de tolerância bilateral (90% , 0,85).
Se L = –∞ e U < +∞, o intervalo (-∞, U] é chamado de limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P). Se L > -∞ e U = +∞, o intervalo [L, +∞) é chamado de limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P).
- Um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) também é um limite de tolerância superior unilateral (P, 1 – α).
- Um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α )100% do (1 – P)ésimo percentil da distribuição dos dados também é um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P). Da mesma forma, um limite de confiança superior unilateral (1 – α )100% do Pésimo percentil da distribuição dos dados também é um limite de tolerância superior unilateral (1 – α , P).
- Se L e U forem limites de tolerância inferiores e superiores unilaterais (1 – α/2 , (1 + P )/2), então [ L, U ] é um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P ) aproximado. Este método pode ser usado nos casos em que os intervalos de tolerância bilateral não podem ser obtidos diretamente. Os intervalos de tolerância bilateral resultantes são geralmente conservadores. Consulte Guenther1 e Hahn e Meeker2.
- Guenther, W. C. (1972). Tolerance intervals for univariate distributions. Naval Research Logistics, 19: 309–333.
- Hahn G. J. and Meeker W. Q. (1991). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners John Wiley & Sons, New York.
Intervalos de tolerância não paramétricos exatos para distribuições contínuas
O Minitab calcula intervalos de tolerância não paramétricos exatos (1 – α, P), onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima da população-alvo no intervalo). O método não-paramétrico para intervalos de distribuição é um método livre de distribuição. Ou seja, o intervalo de tolerância não-paramétrico não depende da população pai de sua amostra. O Minitab usa um método exato para ambos os intervalos, unilateral e bilateral.
Permita que X 1, X 2 , ... , X n sejam as estatísticas ordenadas com base em uma amostra aleatória de alguma população distribuída continuamente F(x;θ). Logo, com base nas descobertas de Wilks1, 2 e Robbins3, pode-se mostrar que:
onde B indica a função de distribuição acumulada da distribuição beta com parâmetros a = r e b = n – s + 1. Portanto, ( Xr , Xs ) é um intervalo de tolerância sem distribuição porque a cobertura do intervalo tem uma distribuição beta com valores de parâmetro conhecidos, que são independentes da distribuição da população original, F(x;θ).
Intervalos unilaterais
Permita que k seja o maior inteiro que satisfaz o seguinte:
onde Y é uma variável aleatória binomial com n e 1 – P parâmetros. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew4) que um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) é dado por Xk . Da mesma forma, um limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P) é dado por X n - k +1. Em ambos os casos, a cobertura real ou efetiva é dada pelo P(Y > k).
Intervalos bilaterais
Permita que k seja o menor inteiro que satisfaz o seguinte:
onde V é uma variável aleatória binomial com n e P parâmetros. Portanto,
onde F V -1(x) é a função de distribuição acumulativa inversa do V. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew4) que um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P) pode ser dado como ( Xr , Xs ). O Minitab seleciona s = n - r + 1 de forma que r = ( n – k + 1) / 2. Tanto r como s são arredondados para baixo, para o inteiro mais próximo. A cobertura real ou efetiva é dada por P(V < k – 1).
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
| 1 – α | o nível de confiança do intervalo de tolerância |
| P | a cobertura do intervalo de tolerância (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo) |
| n | o número de observações na amostra |
- Wilks, S. S. (1941). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 91–96.
- Wilks, S. S. (1941). Statistical prediction with special reference to the problem of tolerance limits. The Annals of Mathematical Statistics, 13, 400–409.
- Robbins, H. (1944). On distribution-free tolerance limits in random sampling. The Annals of Mathematical Statistics, 15, 214–216.
- Krishnamoorthy, K. e Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.
Distribuição lognormal
- O Minitab extrai o logaritmo natural dos dados.
- O Minitab calcula o intervalo de tolerância dos dados transformados usando o procedimento do intervalo de tolerância da distribuição normal.
- O Minitab exponencia os limites do intervalo de tolerância obtidos no passo anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Intervalos de tolerância aproximados para distribuições gama
O intervalo de tolerância para a distribuição gama usa uma aproximação à distribuição normal. Krishnamoorthy, et al. conduz estudos de simulação que demonstram que a aproximação fornece resultados precisos. Os cálculos seguem este processo:
- O Minitab extrai a raiz cúbica dos dados.
- O Minitab calcula o intervalo de tolerância dos dados transformados usando o procedimento do intervalo de tolerância para a distribuição normal.
- O Minitab exponencia os limites do intervalo de tolerância obtidos no passo anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
- Krishnamoorthy K., Mathew T and Mukherjee S (2008). Normal based methods for a Gamma distribution: prediction and tolerance intervals and stress-strength reliability. Technometrics, 50, 69—78.
Distribuição exponencial
O Minitab calcula os intervalos (1 – α, P) de tolerância exatos, onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a proporção mínima alvo da população no intervalo). As fórmulas diferem entre o cálculo dos limites de tolerância unilaterais e intervalos de tolerância bilaterais.
Limites de tolerância exponenciais unilaterais
Esta fórmula fornece o limite inferior:
Esta fórmula fornece o limite superior:
Intervalos de confiança exponenciais bilaterais
O Minitab usa o método de Newton para solucionar o seguinte sistema de equações. Para mais detalhes, consulte Fernandez1.
Esta fórmula fornece o intervalo bilateral:
Onde,
e o valor de k 1 depende da solução para este sistema de equações:
onde,
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
| n | o tamanho amostral |
 | a média da amostra |
| P | a proporção mínima alvo da população no intervalo |
 | o percentil α th da distribuição qui-quadrado com 2n graus de liberdade |
| α | 1 − nível de confiança |
 | a função de distribuição acumulada da distribuição qui-quadrado com 2n graus de liberdade |
- Fernandez, Arturo J. (2010). Two-sided tolerance intervals in the exponential case: Corrigenda and generalizations. Computational Statistics and Data Analysis, 54, 151—162.
Distribuição do menor valor extremo
O Minitab calcula intervalos de tolerância (1 – α, P) exatos com base em Lawless1, onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo).
Limites de tolerância do menor valor extremo unilateral exato
onde
com
onde
O valor de k 2 vem da reposição de α com 1 − α e P com 1 − P nas fórmulas para computar k 1.
Aproxime intervalos bilaterais de tolerância de menor valor extremo
Para calcular o intervalo bilateral aproximado, substitua α por α/2 e P por (P + 1)/2 nas fórmulas para computar os limites de tolerância unilaterais.
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
 | a estimativa da máxima verossimilhança do parâmetro de local da distribuição de valor extremo |
 | a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro de escala do distribuição de valor extremo |
 |  , as observações centradas com base nas estimativas MLE dos parâmetros de escala e local da distribuição do menor valor extremo |
| t | o α th percentil da distribuição-t não central com n − 1 graus de parâmetro não centralidade e liberdade δP |
| 1 - α | o nível de confiança do intervalo de tolerância |
| P | a cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo) |
| n | o número de observações na amostra |
- Lawless, J. F. (1975). Construction of tolerance bounds for the extreme-value and the Weibull distribution. Technometrics, 17, 255—261.
Distribuição Weibull
- O Minitab extrai o logaritmo natural dos dados.
- O Minitab calcula um intervalo de tolerância dos dados transformados usando o procedimento de intervalo de tolerância para a distribuição de menor valor extremo.
- O Minitab determina exponentes aos limites do intervalo de tolerância obtidos na etapa anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Distribuição do maior valor extremo
- O Minitab multiplica os dados por −1.
- O Minitab calcula uma tolerância para os dados transformados usando o procedimento de intervalo de tolerância da distribuição do menor valor extremo.
- O Minitab determina exponentes aos limites do intervalo de tolerância obtidos na etapa anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Para as fórmulas que se aplicam à distribuição do menor valor extremo, vá para a seção na distribuição do menor valor extremo.
Distribuição logística
O Minitab calcula intervalos de tolerância aproximados(1 − α, P) com base em Bain e Engelhardt 1, onde 1 − α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo). A fórmula para o fator de tolerância inferior difere da fórmula para o fator de tolerância superior.
Limites de tolerância de logística unilateral
Os intervalos de tolerância de logística bilaterais
A análise produz um intervalo de tolerância bilateral aproximado para a distribuição logística com a desigualdade de Bonferroni2. Este método de aproximação substitui α por α /2 e P por ( P + 1)/ 2 nas fórmulas para calcular os limites de tolerância unilateral.
Notação
| Termo | Descrição |
|---|---|
 | o menor fator de tolerância |
 | o fator de tolerância superior |
| zα | o percentil superior α da distribuição normal padrão, que é equivalente ao ponto percentil inferior de 1 −α |
 | log(p) − log(1 − p), o p× percentil 100 menor da distribuição logística padrão |
| C11 |  |
| C22 |  |
| C12 |  |
 | a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro do local de logística |
 | a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro de escala de logística |
- Bain, L. and Englehardt, M. (1991). Statistical analysis of reliability and life testing models: Theory and methods. Second edition, Marcel Dekker, Inc.
- Hahn, G. J. and Meeker, W. Q. (2017). Statistical intervals: A guide for practitioners. Second edition, John Wiley and Sons, Inc.
Distribuição loglogística
- O Minitab toma o logaritmo natural dos dados.
- O Minitab calcula o intervalo de tolerância para os dados transformados usando o procedimento do intervalo de tolerância para a distribuição logística.
- O Minitab exponencia os limites do intervalo de tolerância obtidos no passo anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Para fórmulas que se aplicam à distribuição logística, vá para a seção na distribuição de logística.
Teste de Anderson-Darling
O Minitab usa estatísticas de Anderson-Darling para realizar o teste de qualidade do ajuste.
Seja Z = F(X), onde F(X) é a função de distribuição acumulada. Suponha que uma amostra X1, .., Xn fornece valores Z(i) = F(Xi), i=1,.., n. Reorganize Z(i) em ordem crescente, Z(1) < Z(2) <...<Z(n). Em seguida, a estatística de Anderson-Darling (A2) é calculada da seguinte maneira:
- A2 = –n - (1/n) Σi[(2i – 1) log Z(i) + (2n + 1 – 2i) log (1 – Z(i))]
A estatística do teste de qualidade de ajuste modificada de Anderson-Darling é calculada para cada distribuição. Os valores de p são baseados na tabela dada por D'Agostino e Stephens.1 Se nenhum valor de p exato for encontrado na tabela, o Minitab calcula o valor de p com base na interpolação utilizando uma variação do valor de p.
