Métodos e fórmulas para Carta T²

Dados em subgrupos

Quando os dados estão em subgrupos, T² é calculado da seguinte forma:

onde:

é o vetor médio de (média dos valores de x_jk ), que é calculada da seguinte forma:

S = matriz de covariância da amostra

A matriz de covariância da amostra, S, é calculada da seguinte maneira:

onde:

onde:

, a variância amostral para a j^-ésima característica na k^-ésima amostra, é calculada da seguinte forma:

onde:

onde:

, a covariância, =

A média das matrizes S é de uma estimativa não-viciada da variância, quando o processo está sob controle. n deve ser maior do que p e não deve haver fortes correlações entre as variáveis de modo que a matriz de covariância de amostra não seja singular.

Quando os dados estão em subgrupos, o gráfico exibe um valor ausente para qualquer subgrupo que seja uma observação individual.

Observações individuais

Quando os dados são observações individuais, T² é calculado da seguinte forma:

onde:

onde:

Notação

Termo	Descrição
n	Tamanho amostral
	vetor da média da amostra
xijk	a i-ésima observação sobre a j-ésima característica na késima amostra
m	número amostras

O Minitab representa graficamente a estatística T² em uma carta de controle. Se um ponto representado graficamente estiver fora dos limites de controle, o processo está fora de controle naquele ponto. Veja as equações de tabela e de amostra para referência dos cálculos do Minitab.

Os dados a seguir são provenientes de um processo de desenvolvimento de solução de limpeza. As quantidades de citrato de sódio e glicerina afetam a potência da solução.

1. Calcular a média de subgrupo para cada variável, X₁ e X₂. Neste caso, cada subgrupo tinha quatro amostras.
2. Se você tiver observações individuais, o Minitab as utiliza em vez das médias de subgrupo em todos os cálculos.
3. Calcular as variâncias de subgrupo, S_{1 2} e S_{2 2}.
4. Calcular as covariâncias de subgrupo, S_{1 2 k}.
5. Calcular as médias da média de subgrupo, as médias das variâncias de subgrupo e a as médias das covariâncias.
6. Designar a matriz de covariância da amostra S e o vetor médio.
7. Calcular T², que é dado por:

   

O Minitab representa graficamente T² na carta T² e compara-o com os limites de controle para determinar se os pontos individuais estão fora de controle.

A linha central para a carta T² é KX. O cálculo de K e X depende do tamanho máximo da amostra e se Minitab calcula a matriz de covariância dos dados.

Dados em subgrupos

Quando os dados estão em subgrupos, KX é calculado da seguinte maneira:

Matriz de covariância dada

Matriz de covariância estimada

Observações individuais

Quando os dados são observações individuais, KX é calculado da seguinte maneira:

Matriz de covariância dada

Matriz de covariância estimada

em que:

Notação

Termo	Descrição
P	número de variáveis
M	número de subgrupos
N	tamanho amostral
	a distribuição F acumulada inversa com u graus de liberdade do numerador e v graus de liberdade do denominador
	a distribuição beta acumulada inversa com o primeiro parâmetro de forma α e o segundo parâmetro de forma β

Dados em subgrupos

O limite de controle superior, se você não especificar os parâmetros, é:

O limite de controle superior, se você especificar os parâmetros, é:

Observações individuais

O limite de controle superior, se você não especificar os parâmetros, é:

em que:

Consulte Woodall et al.¹ para obter mais informações.

O limite de controle superior, se você especificar os parâmetros, é:

Notação

Estatística T² descomposta:

em que:

em que:

x_i^{(p − 1)}é o vetor médio decomposto

S_xx é a submatriz principal (p – 1) × (p – 1) de S

T²_{p|1,..., p−1} é uma aproximação diferente para as fases e se você tem subgrupos ou observações individuais:

Fase 1 para dados nos subgrupos

Fase 2 para dados nos subgrupos

Fase 1 para observações individuais

Fase 2 para observações individuais

O Minitab calcula os limites de controle da fase 1 quando você não especificar as estimativas de parâmetros e os limites de controle da fase 2 quando você especificar.

Consulte Mason et al.² para obter mais informações sobre a estatística T² decomposta.

Notação

Fórmula Box-Cox

Se você usar a transformação de Box-Cox, o Minitab transformará os valores de dados originais (Y_i), de acordo com a seguinte fórmula:

onde λ é o parâmetro para a transformação. O Minitab então, cria uma carta de controle dos valores de dados transformados (W_i). Para aprender como o Minitab seleciona o valor ótimo de λ, acesse Métodos e fórmulas para Transformação de Box-Cox.

Valores de λ comuns

A tabela a seguir mostra alguns valores de λ usados e suas transformações.

λ	Transformação
2
0,5
0
−0,5
−1