O cálculo do tamanho amostral, n, da distância crítica, k, depende do número de limites de especificação dado e se o desvio padrão é conhecido.
Limite de especificação único e desvio padrão conhecido
O tamanho amostral é dado por:
A distância crítica é dada por:
onde:
Notação
Termo
Descrição
Z1
o (1 – p1) * 100 percentil da distribuição normal padrão
p1
O nível de qualidade aceitável (NQA)
Z2
o (1 – p2) * 100 percentil da distribuição normal padrão
p2
O nível de qualidade rejeitável (NQR)
Zα
O (1 – α) * 100 percentil da distribuição normal padrão
α
o risco do produtor
Zβ
o (1 – β ) * 100 percentil da distribuição normal padrão
β
o risco do consumidor
Limite de especificação único e desvio padrão desconhecido
A notação é igual à usada na seção para um único limite de especificação e um desvio padrão conhecido. O tamanho amostral é dado por:
A distância crítica é dada por:
Limites de especificação duplos e desvio padrão conhecido
A notação não definida abaixo é igual à usada para o caso de um limite de especificação único e um desvio padrão conhecido. Primeiramente, o Minitab calcula z:
Em seguida, o Minitab encontra p* a partir da distribuição normal padrão como a área da cauda superior correspondente a z. Esta é a probabilidade mínima dos defeituosos fora de um dos limites de especificação.
O método que o Minitab utiliza para o cálculo do tamanho amostral e da distância crítica depende deste valor de p*.
Seja p1 = AQL, p2 = RQL
Se 2p* ≤ (p1/ 2), as duas especificações estão relativamente distantes e os cálculos seguem os planos de limite único.
Se p1/ 2 < 2p* ≤ p1, as duas especificações não estão relativamente distantes, mas ainda não estão tão perto que a probabilidade mínima de defeituosos possa ser encontrada por certos valores médios. O Minitab executa uma iteração para encontrar o Tamanho amostral e distância crítica.
Seja
μ = μ0+ m * h, em que h = σ/100
Seja m = 1, 2, ...300. Para cada μ calcule:
onde Φ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão. Se Prob (X<L) + Prob (X>U) estiver extremamente perto de p1, o Minitab utiliza o maior valor entre Prob (X <L) e Prob (X> U) para encontrar o tamanho amostral e o número aceito.
Suponha que Prob (X<L) seja o maior valor, seja pL = Prob (X<L).
O tamanho amostral é dado por:
A distância crítica é dada por:
onde:
ZpL = the (1 – pL) * 100 percentil da distribuição normal padrão.
Se já usamos todos os valores de m, mas as probabilidades correspondentes não contêm p1, então, p1 é grande demais, o que significa que a média das medições está longe do ponto médio do intervalo [L, U]. Neste caso, podemos usar um método para um limite de especificação único e ZpL = Z1. Z1 tem a definição igual à usada no caso de limite de especificação único.
Se p1 < 2p* < p2, as especificações do plano devem ser reconsideradas porque a probabilidade mínima de defeitos determinada pelos dois limites de especificação e os desvios padrão é maior do que o nível de qualidade p1 aceitável. Você pode rejeitar o lote ou considerar um plano com uma probabilidade de defeitos um pouco maior do que p1.
Se 2p* ≥ p2, o lote deve ser rejeitado; a probabilidade mínima de defeituosos determinada pelos dois limites de especificação e o desvio padrão é maior do que o nível de qualidade rejeitável. Você pode rejeitar o lote sem testar todos os produtos.
Notação
Termo
Descrição
L
o limite inferior de especificação
U
o limite superior de especificação
σ
o desvio padrão conhecido
Limites de especificação duplos e desvio padrão desconhecido (procedimento padrão)
A notação é igual à usada nas seções anteriores. O Minitab permite que a distância crítica seja o valor determinado como no caso de dois planos de limite único separados:
O tamanho amostral é dado por:
Se n > 2, o Minitab calcula o DPM com as etapas a seguir1.
Seja
Então,
em que Beta é a função de distribuição acumulada de uma distribuição beta com parâmetros de forma a e b. Aqui, .
Definir
Então,
em que Beta-1 é a função de distribuição acumulada inversa da distribuição beta na etapa 2.
Se n ≤ 2, o desvio padrão máximo (DPM) não pode ser calculado.
Limites de especificação duplos e desvio padrão desconhecido (procedimento de Wallis)
A notação é igual à usada nas seções anteriores. O procedimento a seguir pode ser encontrado no livro de Schilling.2
Primeiramente, o Minitab permite que a distância crítica seja o valor determinado como no caso de dois planos de limite único separados:
O Minitab encontra a área de cauda superior da distribuição normal padrão, p*, correspondente ao k como o percentil; e o percentil Zp** a partir da distribuição normal padrão correspondente a área de cauda superior de p*/2.
O desvio padrão máximo (DPM) é dado por:
O desvio padrão estimado é dado por:
O Minitab testa se o desvio padrão estimado, s, é menor ou igual ao DPM.
Se o desvio padrão estimado, s, for menor ou igual ao DPM, então o tamanho amostral é dado por:
Se o desvio padrão estimado, s, não for menor ou igual a DPM, o desvio padrão é muito grande para ser consistente com os critérios de aceitação e o lote deve ser rejeitado.
Notação
Termo
Descrição
Xi
a i-ésima medição
a média das medições atuais
Probabilidade de aceitação
Seja p a probabilidade de defeitos que é o valor de x de um ponto em uma curva OC.
Limite de especificação único e desvio padrão conhecido
Limite de especificação inferior único e desvio padrão conhecido
Prob (X < L) = p.
Limite de especificação superior único e desvio padrão conhecido
Prob (X > L) = p.
Limite de especificação único e desvio padrão desconhecido
Limites de especificação duplos e desvio padrão conhecido
Primeiramente, o Minitab calcula z
Em seguida, encontra p* a partir da distribuição normal padrão como a área da cauda superior correspondente a z. Esta é a probabilidade mínima dos defeituosos fora de um dos limites de especificação.
O método que o Minitab utiliza para a probabilidade de aceitação depende deste valor de p*.
Seja p1 = NQA, p2 = NQR
Se 2p* ≤ (p1/ 2), as duas especificações estão relativamente distantes e os cálculos para o tamanho amostral e a distância crítica seguem os planos de limite único.
Se p1/ 2 < 2p* ≤ p1, as duas especificações não estão relativamente distantes, mas ainda não estão tão perto que a probabilidade mínima de defeituosos possa ser encontrada por certos valores médios.
Para qualquer p dado, o Minitab encontra a média, μ, das medições usando um algoritmo de busca de grade. Então,
Limites de especificação duplos e desvio padrão desconhecido
Quando você tem ambos os limites de especificação inferior e superior, mas não conhece o desvio padrão, o Minitab usa a curva CO para o plano de limite único a fim de aproximar o caso limites de especificação duplos. A curva CO derivada de um plano de limite único com p1, p2, α e β especificados é o limite inferior da banda de curvas CO para um plano de especificação de bilateral com os mesmos p1, p2, α e β e para a maioria dos casos práticos pode ser tomada como a curva CO para o plano bilateral. Consulte Duncan1.
Duncan (1986). Quality Control and Industrial Statistics, 5a edição.
Notação
Termo
Descrição
n
tamanho da amostra
k
distância crítica
σ
desvio padrão conhecido
Zp
o (1 - p)o percentil da distribuição normal padrão
Φ
função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão
T
é o t não central distribuído com graus de liberdade = n – 1 e o parâmetro não central,
L
limite inferior de especificação
U
limite superior de especificação
Probabilidade de rejeição
A probabilidade de rejeição (Pr) descreve a chance de rejeitar um determinado lote com base em um plano de amostragem específica e proporção de entrada com defeito. É simplesmente 1 menos a probabilidade de aceitação.
Pr = 1 – Pa
onde:
Pa = probabilidade de aceitação
Qualidade média à saída (AOQ)
A qualidade de saída média representa o nível de qualidade do produto após a inspeção. A qualidade de saída média varia conforme varia a fração de entrada de defeituosos.
Notação
Termo
Descrição
Pa
probabilidade de aceitação
p
fração de defeituosos de entrada
N
tamanho do lote
n
tamanho amostral
Inspeção total média (ITM)
A inspeção total média representa o número médio de unidades em um lote de 5.000, que serão inspecionadas em relação a um nível de qualidade de entrada e probabilidade de aceitação específicos.
Notação
Termo
Descrição
Pa
probabilidade de aceitação
N
tamanho do lote
n
tamanho amostral
Região de aceitação (RA) - Procedimento padrão
A região de aceitação é calculada apenas quando ambas as especificações são dadas e o desvio padrão é desconhecido. Vá para a seção em tamanho amostral e distância crítica para n e k, respectivamente, e verifique a notação para as equações.
No gráfico de região de aceitação, o eixo x é a média da amostra e o eixo y é o desvio padrão da amostra. A região de aceitação é formada por 3 funções do desvio padrão da amostra e a média da amostra, além do Desvio Padrão Máximo (DPM). Para todos os valores da amostra em que os valores do desvio padrão da amostra excedem o DPM, o limite superior da região de aceitação é o DPM.
Para casos que estão próximos dos limites de especificações superiores ou inferiores, a região de aceitação é delimitada por estas duas funções:
À medida que os valores da média amostral se aproximam do meio dos limites da especificação, as coordenadas do limite superior da região de aceitação são calculadas com as seguintes etapas:
Seja .
Então em que Beta é a função de distribuição acumulada de uma distribuição beta com parâmetros de forma a e b. Aqui, .
Defina pares de proporões p01 e p02 que satisfaçam p02 + p01 = p*
Próximo,
em que Beta-1 é a função de distribuição acumulada inversa da distribuição beta na etapa 2.
Para , a média e as coordenadas de desvio padrão são as equações a seguir:
Região de aceitação (RA) - Procedimento de Wallis
Os seguintes cálculos são para o caso quando a análise tem ambas as especificações, mas o desvio padrão é desconhecido. O procedimento pode ser encontrado no livro de Schilling.2
Neste gráfico o eixo x mostra valores da média amostral () e o eixo y mostra valores do desvio padrão. Em combinação com o eixo x, as seguintes linhas formam um triângulo de aceitação.
A linha tracejada e o eixo x formam uma região mais precisa. Use as etapas a seguir para formar a linha tracejada.
Seja p* a área da cauda superior da distribuição normal padrão com a distância crítica como o percentil: P(Z > k).
Selecione valores de p01 e p02 que satisfaçam p02 + p01 = p*:
p01 = (p* / 100) * h
p02 = (p* / 100) * (100 - h)
em que h assume os valores de 1 a 00.
Use as seguintes equações para definir as coordenadas X e Y:
Notação
Termo
Descrição
L
Limite de especificação inferior
U
Limite superior de especificação
k
distância crítica
Zp01
o (1 - p01)* 100 percentil da distribuição normal padrão
Zp02
o (1 - p02)* 100 percentil da distribuição normal padrão
p01
(p* / 100) * h
p02
(p* / 100) * (100 – h)
1 Duncan, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics (5ª ed.). Homewood, III: Irwin.
2 Schilling and Neubauer (2009). Acceptance Sampling in Quailty Control (2ª ed.)
.
.
em que Beta é a função de distribuição acumulada de uma distribuição beta com parâmetros de forma a e b. Aqui, 
.
, a média e as coordenadas de desvio padrão são as equações a seguir:
) e o eixo y mostra valores do desvio padrão. Em combinação com o eixo x, as seguintes linhas formam um triângulo de aceitação.
