Métodos e fórmulas para Distribuições de probabilidades

Para um número p no intervalo fechado [0,1], a função de distribuição acumulada inversa (ICDF) de uma variável aleatória X determina, sempre que possível, um valor x de modo que a probabilidade de X ≤ x seja maior ou igual a p .

A ICDF para distribuições contínuas

A ICDF é o valor que está associado com uma área sob a função densidade de probabilidade. A ICDF é a inversa da função distribuição acumulada (FDA), que é a área associada a um valor.

Para todas as distribuições contínuas, existe a ICDF e ela é única se 0 < p < 1.

• Quando a função de densidade de probabilidade (FDP) é positiva para toda a linha número real (por exemplo, uma FDP normal), a ICDF não é definida por qualquer p = 0 ou p = 1.
• Quando a FDP for positiva para todos os valores que são maiores do que algum valor (por exemplo, a FDP do qui-quadrado), a ICDF é definida para p = 0, mas não para P = 1.
• Quando a FDP é positiva apenas em um intervalo (por exemplo, a FDP uniforme), a ICDF é definida para p = 0 e p = 1.
• Quando a ICDF não está definida, o Minitab retorna um valor faltante (*) para o resultado.

A ICDF para distribuições discretas

A ICDF é mais complicada para distribuições discretas do que é para distribuições contínuas. Ao calcular a FDA para uma binomial com, por exemplo, n = 5 e p = 0,4, não existe um valor x tal que a FDA seja de 0,5. Para x = 1, a FDA é 0,3370. Para x = 2, a FDA aumenta para 0,6826.

Quando a ICDF é exibida (isto é, os resultados não são armazenados), ambos os valores de x são exibidos. Quando a ICDF é armazenada, o maior dos dois valores é armazenado.

A distribuição beta é normalmente usada para representar processos com limites naturais inferiores e superiores.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

Quando a = 0, b = 1,

o FDP é:

A distribuição binomial é usada para representar o número de eventos que ocorrem dentro de n tentativas independentes. Os valores possíveis são números inteiros de zero a n.

Fórmula

média = np

variância = np(1 – p)

A função de massa de probabilidade (FMP) é:

Onde é igual a .

Em geral, é possível calcular k! como

Notação

A distribuição Cauchy é simétrica em torno de zero, mas as caudas se aproximam de zero menos rapidamente do que aqueles da distribuição normal.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

Se X tiver uma distribuição normal padrão, X² tem uma distribuição do qui-quadrado com um grau de liberdade, permitindo que ele seja uma distribuição de amostragem utilizada.

A soma de n variáveis X² independentes (onde X tem uma distribuição normal padrão) tem uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. A forma da distribuição do qui-quadrado depende do número de graus de liberdade.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

médoa = v

variância = 2v

Notação

A distribuição discreta é aquela que você mesmo define. Por exemplo, suponha que você esteja interessado em uma distribuição composta por três valores -1, 0, 1, com probabilidades de 0,2, 0,5 e 0,3, respectivamente. Se você digitar os valores em colunas de uma worksheet, pode usar essas colunas para gerar dados aleatórios ou para calcular probabilidades.

A distribuição exponencial pode ser utilizada para modelar o tempo entre falhas, como quando as unidades possuem uma taxa constante e instantânea de falha (função de risco). A distribuição exponencial é um caso especial da distribuição Weibull e da distribuição gama.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = θ + λ

variância = θ²

Notação

A distribuição F também é conhecida como a distribuição de variância-proporção e tem dois tipos de graus de liberdade: graus de liberdade do numerador e denominador graus de liberdade. Ela é uma distribuição de proporção de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida por seus graus de liberdade.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

A distribuição gama é normalmente usada para modelar dados positivamente assimétricos.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

média = ab + θ

variância = ab²

Notação

A distribuição geométrica discreta se aplica a uma sequência de experimentos independentes de Bernoulli com um evento de interesse que tem probabilidade p.

Fórmula

Se a variável aleatória X for o número total de ensaios necessários para produzir um evento com a probabilidade p, a função de massa de probabilidade (FMP) de X é dada por:

e X apresenta as seguintes propriedades:

Se a variável aleatória Y for o número de não eventos que ocorrem antes de o primeiro evento com a probabilidade p ser observado, a função de massa de probabilidade (FMP) de Y é dada por:

e Y apresentações das propriedades a seguir:

Notação

A distribuição hipergeométrica é usada para amostras extraídas de populações relativamente pequenas, sem substituição. Por exemplo, você tem uma remessa de N televisores, onde N₁ são bons (sucessos) e N₂ são defeituosos (falha). Se você amostrar n televisores de N aleatoriamente, sem substituição, pode encontrar a probabilidade de que exatamente x dos n televisores estão bons.

Fórmula

A função de massa de probabilidade (FMP) é:

Notação

A distribuição inteira é uma distribuição uniforme discreta em um conjunto de números inteiros. Cada inteiro tem igual probabilidade de ocorrência.

A distribuição normal (também chamada distribuição de Gauss), é a distribuição estatística mais utilizada por causa dos muitos processos físicos, biológicos e sociais que pode modelar.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = μ

variância = σ ²

desvio padrão = σ

Notação

A distribuição de Laplace é utilizada quando a distribuição de dados tiver mais picos do que a distribuição normal.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

média = a

variância = 2b²

Notação

Use a distribuição do maior valor extremo para modelar o maior valor de uma distribuição. Se você tiver uma sequência de distribuições exponenciais, e X_(n) for o máximo do primeiro n, X_(n) – ln(n) converge em distribuição para a distribuição de maior valor extremo. Assim, para grandes valores de n, a distribuição de maior valor extremo é uma boa aproximação para a distribuição de X_(n) – ln(n).

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = μ + γσ

variância = π ² σ ² / 6

Notação

É uma distribuição contínua que é simétrica, semelhante à distribuição normal, mas com caudas mais pesadas.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = μ

Notação

Uma variável x tem uma distribuição loglogística com limite λ se Y = log (x – λ) tiver uma distribuição logística.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

quando σ < 1:

quando σ < 1/2:

Notação

Uma variável x tem uma distribuição lognormal se log(x – λ ) tiver uma distribuição normal.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

Notação

A distribuição binomial negativa discreta se aplica a uma série de experimentos de Bernoulli com um evento de interesse que tem probabilidade p.

Fórmula

Se a variável aleatória X for o número de ensaios necessários para produzir r eventos que tenham cada um a probabilidade p, a função de massa de probabilidade (FMP) de X é dada por:

e X apresenta as seguintes propriedades:

Se a variável aleatória Y é o número de não eventos que ocorrem antes de observar os eventos r, que têm cada um a probabilidade p, a função de massa de probabilidade (FMP) de Y é dada por:

e Y apresentações das propriedades a seguir:

Notação

A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta que modela o número de eventos baseados em uma taxa constante de ocorrência. A distribuição de Poisson pode ser usada como uma aproximação ao binomial quando o número de ensaios independentes é grande a probabilidade de sucesso é pequena.

Fórmula

A função de massa de probabilidade (FMP) é:

média = λ

variância = λ

Notação

Use a distribuição do menor valor extremo para modelar o menor valor de uma distribuição. Se Y segue uma distribuição Weibull, o log(Y) segue a distribuição de menor valor extremo.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

Notação

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

média = 0, quando ν > 0

Notação

O FDP da distribuição triangular tem uma forma triangular.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

A distribuição uniforme caracteriza dados sobre um intervalo uniforme, com a como o menor valor e b como o maior valor.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

A distribuição Weibull é útil para modelar os tempos de falha do produto.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

Notação