Métodos e fórmulas para Tamanho amostral para intervalos de tolerância

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Fórmulas gerais para tamanho amostral para intervalo de tolerância

Definição de um intervalo de tolerância (bilateral)

Permita que X1, X2, ..., Xn sejam os valores ordenados de uma amostra aleatória de tamanho n de alguma distribuição contínua.

Permita que a função de distribuição seja F(χ,θ) para Ω em algum espaço de parâmetros com dimensão maior ou igual a 1.

Permita que L < U seja duas estatísticas com base na amostra de tal modo que, para todos os valores indicados, α e P, com 0 < α < 1 e 0 < P < 1, o seguinte se mantém para todos os θ em Ω:

Assim, o intervalo [ L, U] é um intervalo de tolerância de bilateral com um conteúdo = P x 100% e nível de confiança = 100(1 - α)%. Tal intervalo pode ser chamado de intervalo de tolerância bilateral (1 - α, P). Por exemplo, se α = 0,10 e P = 0,85, o intervalo resultante é chamado de intervalo de tolerância bilateral (90% , 0,85).

Tamanho amostral e margem de erro

Permita que C = F( U) – F( L). Um intervalo de tolerância bilateral (1 –α , P) é da seguinte maneira:
em que C é o conteúdo (também chamado de cobertura) do intervalo de tolerância.
Faulkenberry e Weeks1 descrevem o problema do tamanho amostral durante um intervalo de tolerância em termos de margem de erro, ε, e a probabilidade da margem de erro, α*. O tamanho amostral é escolhido para ser suficientemente grande de tal modo que as duas condições a seguir sejam satisfeitas:
  • A probabilidade de que o intervalo cubra, pelo menos, 100P% da população é 1 – α.
  • A probabilidade, α*, é pequena de forma que o intervalo cubra mais de 100P* % da população, em que P* = P + ε e ε > 0.

Em outras palavras, para determinados valores de P, α, ε e α*, o tamanho amostral é determinada de tal modo que

e

Esta abordagem baseia-se no fato de que, para qualquer P* > P, P( C>P*) é uma função decrescente do tamanho amostral e, portanto, pode ser usada para avaliar a precisão.

Escolher um ε e um α* pequenos produz o efeito de reduzir o tamanho do intervalo de tolerância e, assim, é necessário um maior tamanho amostral. Valores típicos de ε e α* são 0,10, 0,05 ou 0,01.

Também é possível determinar ε para determinados valores de P, α, n e α*.
Observação

As definições e conceitos acima também se aplicam aos intervalos de tolerância unilaterais.

  1. Faulkenberry, G.D. and Weeks, D.L. (1968). Sample size determination for tolerance limits. Technometrics, 10, 343-8.

Cálculo de tamanho amostral para intervalos de tolerância normais

Intervalo unilateral

Faulkenberry e Daly1 mostram que, para determinados valores de α, P, ε e α*, o tamanho amostral necessário para um intervalo unilateral é obtido encontrando-se o mínimo para n que satisfaça a seguinte equação:

onde a notação tx,y(d) representa o yo percentil de uma distribuição t não central com x graus de liberdade e parâmetro de não centralidade d. Os parâmetros de não centralidade δ e δ* são calculados da seguinte maneira:

onde zp é o Po percentil da distribuição normal padrão.

O Minitab usa um algoritmo iterativo para encontrar o valor mínimo exigido para n.

Intervalo bilateral

Para que os cálculos de tamanho amostral de um intervalo bilateral possam contar com a função I( k, n, P), acesse Métodos e fórmulas para Intervalos de tolerância (distribuição normal) e clique em "Intervalos de tolerância exata para distribuições normais".

Faulkenberry e Daly1 mostram que, para determinados valores de α, P, ε e α*, o tamanho amostral necessário para um intervalo bilateral é obtido encontrando-se o mínimo que satisfaça o seguinte para k1< k2:

O Minitab usa um algoritmo iterativo para encontrar o valor mínimo exigido para n. Para informações adicionais, consulte Odeh, Chou e Owen2.

Notação

TermoDescrição
1 – αo nível de confiança do intervalo de tolerância
Pa cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo)
εa margem de erro do intervalo de tolerância
α*a probabilidade de margem de erro para o intervalo de tolerância
no número de observações na amostra
  1. Faulkenberry, G.D. and Daly, J.C. (1970). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. Technometrics, 12, 813–21.
  2. Odeh, R. E., Chou, Y.-M. and Owen, D.B. (1987). The precision for coverages and sample size requirements for normal tolerance intervals. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 16, 969–985.

Cálculo da porcentagem máxima da população no intervalo para intervalos de tolerâncias normais

O Minitab calcula os intervalos para margem de erro e, em seguida, calcula o intervalo para a porcentagem máxima de população no intervalo usando a fórmula a seguir.

P* = P + ε

Os cálculos para a margem de erro são semelhantes aos cálculos do tamanho amostral descritos em Fórmulas gerais para tamanho amostral para intervalo de tolerância.

Intervalos unilaterais

Para determinados valores de n, α, P e α * a margem de erro, ε, para um intervalo unilateral é obtido primeiramente resolvendo-se δ* na equação a seguir:

onde a notação tx,y(d) representa o yo percentil de uma distribuição t não central com x graus de liberdade e parâmetro de não centralidade d. O Minitab usa uma rotina localizadora de raiz numérica para calcular δ*. Com o valor de δ* determinado, o valor de ε pode ser obtido na seguinte fórmula:

Intervalos bilaterais

Os cálculos para a margem de erro de um intervalo bilateral contam com a função I( k, n, P), que é descrita em Intervalos de tolerância exatos para distribuições normais.

Para determinados valores de n, α, P e α*, a margem de erro, ε, para um intervalo bilateral é obtido utilizando o algoritmo descrito em Odeh, Chou e Owen1. Primeiro, resolva a seguinte equação para k:

Em segundo lugar, use o valor de k para resolver a equação a seguir para ε:

Notação

TermoDescrição
1 – αo nível de confiança do intervalo de tolerância
Pa cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo)
P*Porcentagem máxima da população no intervalo
εa margem de erro do intervalo de tolerância
α*a probabilidade de margem de erro para o intervalo de tolerância
no número de observações na amostra
  1. Odeh, R. E., Chou, Y.-M. and Owen, D.B. (1987). The precision for coverages and sample size requirements for normal tolerance intervals. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 16, 969–985.

Cálculo do tamanho amostral e das porcentagens máximas aceitáveis da população no intervalo para intervalos de tolerância não paramétricos.

Um limite de tolerância unilateral (1 – α, P) é dado por Xk, onde k é o maior inteiro que satisfaça a seguinte condição:
onde Y é uma variável aleatória binomial com n e 1 – P parâmetros. De forma equivalente, nk é o menor número inteiro de maneira que P(W nk) ≥ 1 – α, em que W = nY é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e P.

Ou seja nk = FW–1 (1 – α), onde FW–1(.) representa a função distribuição acumulada inversa de W = nY.

Da mesma forma, é possível mostrar que um limite de tolerância unilateral (1 – α, P) é determinado por X( nk + 1 ), onde k satisfaça as condições acima para limite inferior.

Em ambos os casos, a cobertura real ou efetiva é dada como P(Y > k).

Além disso, um intervalo de tolerância bilateral de (1 – α, P) pode ser dado como (Xr, Xs) onde k = sr é o menor inteiro que satisfaça a seguinte condição:
onde V é uma variável aleatória binomial com n e P parâmetros. Ou seja k – 1 = Fv–1(1 – α), em que Fv–1(.) representa a função distribuição acumulada inversa de W = nY.

Tornou-se prática comum tomar s = nr + 1 de forma que r = ( nk + 1) / 2. Ambos r e s são arredondados para o número inteiro mais próximo. A cobertura real ou efetiva é dada por P( Vk – 1).

Critério

Os critérios para cálculo do tamanho amostral para intervalos de tolerância não paramétricos (tanto unilateral como bilateral) são semelhantes aos descritos para dados normais. Mais especificamente, para um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P), o critério consiste em determinar o tamanho amostral, n, e o maior inteiro k que satisfaça as condições a seguir:

em que Y é uma variável aleatória binomial com parâmetros n , 1 – P e em que Y* é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e 1– P* , e P* = P + ε e ε > 0.

Esta condição é equivalente a encontrar n e o maior inteiro k que satisfaça as condições a seguir:

em que FU(.) representa a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória U que é distribuída como uma distribuição beta com parâmetros α = k e b = nk + 1.

Como destacado por Hahn e Meeker1 o critério produz os requisitos de tamanho amostral que são idênticos para ambos os intervalos de tolerância unilateral e bilateral. Assim, utilizamos o critério acima para ambos os intervalos unilateral e bilateral.

Para os valores dados de ε, P, e α*, o Minitab usa um algoritmo iterativo para encontrar o tamanho mínimo da amostra que satisfaz as duas condições acima. Para valores dados de n, P e α*, o Minitab também calcula a margem de erro que satisfaça as condições acima utilizando um algoritmo iterativo e, em seguida, calcula o intervalo para a porcentagem máxima de população no intervalo usando a fórmula a seguir.

P* = P + ε

Para obter detalhes adicionais, consulte Hahn e Meeker1.

Notação

TermoDescrição
1 - αo nível de confiança do intervalo de tolerância
Pa cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo)
P*Porcentagem máxima da população no intervalo
εa margem de erro do intervalo de tolerância
α*a probabilidade de margem de erro para o intervalo de tolerância
no número de observações na amostra
  1. Hahn, G. J. and Meeker, W. Q. (1991), Statistical Intervals: A Guide for Practitioners. John Wiley & Sons, 170.
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