Métodos e fórmulas para Intervalos de tolerância (distribuição normal)

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Métodos do Intervalo de tolerância

O Minitab calcula intervalos de tolerância paramétricos e não paramétricos. Os cálculos para os intervalos de tolerância paramétricos pressupõem que a distribuição da origem de amostra é normalmente distribuída. Os cálculos para os intervalos de tolerância não paramétricos pressupõem apenas que a distribuição da origem seja contínua.

Definições gerais

Deixe X 1, X 2, ..., X n ser as estatísticas solicitadas com base na amostra aleatória de tamanho n a partir de alguma distribuição contínua.

Permita que a função de distribuição seja F(χ;θ) para Ω em algum espaço de parâmetro com dimensão maior ou igual a 1.

Permita que L < U seja duas estatísticas com base na amostra de tal modo que, para todos os valores indicados, α e P, com 0 < α < 1 e 0 < P < 1, o seguinte se mantém para todos os θ em Ω:

Assim, o intervalo [ L, U] é um intervalo de tolerância de bilateral com um conteúdo = P x 100% e nível de confiança = 100(1 – α)%. Tal intervalo pode ser chamado de intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P). Por exemplo, se α = 0,10 e P = 0,85, o intervalo resultante é chamado de intervalo de tolerância bilateral (90% , 0,85).

Se L = –∞ e U < +∞, o intervalo (-∞, U] é chamado de limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P). Se L > -∞ e U = +∞, o intervalo [L, +∞) é chamado de limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P).

Intervalos de tolerância possuem as seguintes propriedades úteis e interessantes:
  • Um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) também é um limite de tolerância superior unilateral (P, 1 – α).
  • Um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α )100% do (1 – P)o percentil da distribuição dos dados também é um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P). Da mesma forma, um limite de confiança superior unilateral (1 – α )100% do Po percentil da distribuição dos dados também é um limite de tolerância superior unilateral (1 – α , P).
  • Se L e U forem limites de tolerância inferiores e superiores unilaterais (1 – α/2 , (1 + P )/2), [ L, U ] será um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P ) aproximado. Este método pode ser usado nos casos em que os intervalos de tolerância bilaterais não podem ser obtidos diretamente. Os intervalos de tolerância bilateral resultantes são geralmente conservadores. Consulte Guenther1 e Hahn e Meeker2.
  1. Guenther, W. C. (1972). Tolerance intervals for univariate distributions. Naval Research Logistics, 19: 309–333.
  2. Hahn G. J. and Meeker W. Q. (1991). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners John Wiley & Sons, New York.

Intervalos de tolerância exatos para distribuições normais

O Minitab calcula intervalos de tolerância (1 – α, P) exatos, em que 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo). O limite inferior, L, e o limite superior, U, para todos os intervalos de tolerância são dados pelas seguintes fórmulas:

Fator de tolerância para intervalos unilaterais

O fator de tolerância exato para um intervalo unilateral é dado pela seguinte equação:

em que tn-1,1-α(δ) é o percentil 1 – α de uma distribuição-t não central com n – 1 graus de liberdade e parâmetro de nãocentralidade, δ, que é dado pela seguinte fórmula:

Fator de tolerância para intervalos bilaterais

O fator de tolerância exato para um intervalo bilateral é obtido por meio da resolução da seguinte equação para k. Consulte Krishnamoorthy e Mathew1.

em que Fn – 1 é a função de distribuição acumulada para uma distribuição de qui-quadrado com n – 1 graus de liberdade, e χ21,p é o Po percentil da distribuição qui-quadrado não central com 1 grau de liberdade e parâmetro de não centralidade P. O lado esquerdo da equação pode ser reescrito como:

onde:

em que Φ(z) é a função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão. O Minitab usa uma quadratura Gauss-Legendre de 36 pontos para avaliar I(k, n, P).

Notação

TermoDescrição
1 - αo nível de confiança do intervalo de tolerância
Pa cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo)
Lo limite inferior do intervalo de tolerância
Uo limite superior do intervalo de tolerância
a média da amostra
ko fator de tolerância (também chamado de fator k)
So desvio padrão da amostra
no número de observações na amostra
ZPo Po percentil da distribuição normal padrão
  1. Krishnamoorthy, K. e Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.

Intervalos de tolerância não paramétricos exatos para distribuições contínuas

O Minitab calcula intervalos de tolerância não paramétricos exatos (1 – α, P), onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima da população-alvo no intervalo). O método não-paramétrico para intervalos de distribuição é um método livre de distribuição. Ou seja, o intervalo de tolerância não-paramétrico não depende da população pai de sua amostra. O Minitab usa um método exato para ambos os intervalos, unilateral e bilateral.

Permita que X 1, X 2 , ... , X n sejam as estatísticas ordenadas com base em uma amostra aleatória de alguma população distribuída continuamente F(x;θ). Logo, com base nas descobertas de Wilks1, 2 e Robbins3, pode-se mostrar que:

onde B indica a função de distribuição acumulada da distribuição beta com parâmetros a = r e b = ns + 1. Portanto, ( Xr , Xs ) é um intervalo de tolerância sem distribuição porque a cobertura do intervalo tem uma distribuição beta com valores de parâmetro conhecidos, que são independentes da distribuição da população original, F(x;θ).

Intervalos unilaterais

Permita que k seja o maior inteiro que satisfaz o seguinte:

onde Y é uma variável aleatória binomial com n e 1 – P parâmetros. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew4) que um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) é dado por Xk . Da mesma forma, um limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P) é dado por X n - k +1. Em ambos os casos, a cobertura real ou efetiva é dada pelo P(Y > k).

Intervalos bilaterais

Permita que k seja o menor inteiro que satisfaz o seguinte:

onde V é uma variável aleatória binomial com n e P parâmetros. Portanto,

onde F V -1(x) é a função de distribuição acumulativa inversa do V. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew4) que um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P) pode ser dado como ( Xr , Xs ). O Minitab seleciona s = n - r + 1 de forma que r = ( nk + 1) / 2. Tanto r como s são arredondados para baixo, para o inteiro mais próximo. A cobertura real ou efetiva é dada por P(V < k – 1).

Notação

TermoDescrição
1 – αo nível de confiança do intervalo de tolerância
P a cobertura do intervalo de tolerância (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo)
n o número de observações na amostra
  1. Wilks, S. S. (1941). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 91–96.
  2. Wilks, S. S. (1941). Statistical prediction with special reference to the problem of tolerance limits. The Annals of Mathematical Statistics, 13, 400–409.
  3. Robbins, H. (1944). On distribution-free tolerance limits in random sampling. The Annals of Mathematical Statistics, 15, 214–216.
  4. Krishnamoorthy, K. e Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.
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