Métodos e fórmulas para os intervalos de tolerância em Intervalos de tolerância (distribuição não normal)

Selecione o método ou a fórmula de sua escolha.

Métodos do Intervalo de tolerância

O Minitab calcula intervalos de tolerância paramétricos e não-paramétricos. Os cálculos dos intervalos de tolerância não-paramétricos pressupõem apenas que a distribuição pai seja contínua. Os cálculos dos intervalos de tolerância paramétricos assumem que a distribuição pai da amostra é uma destas distribuições:
  • Lognormal
  • Gama
  • Exponencial
  • Menor valor extremo
  • Weibull
  • Maior valor extremo
  • Logística
  • Loglogística

Definições gerais

Deixe X 1, X 2, ..., X n ser as estatísticas solicitadas com base na amostra aleatória de tamanho n a partir de alguma distribuição contínua.

Permita que a função de distribuição seja F(χ;θ) para Ω em algum espaço de parâmetro com dimensão maior ou igual a 1.

Permita que L < U seja duas estatísticas com base na amostra de tal modo que, para todos os valores indicados, α e P, com 0 < α < 1 e 0 < P < 1, o seguinte se mantém para todos os θ em Ω:

Assim, o intervalo [ L, U] é um intervalo de tolerância de bilateral com um conteúdo = P x 100% e nível de confiança = 100(1 – α)%. Tal intervalo pode ser chamado de intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P). Por exemplo, se α = 0,10 e P = 0,85, o intervalo resultante é chamado de intervalo de tolerância bilateral (90% , 0,85).

Se L = –∞ e U < +∞, o intervalo (-∞, U] é chamado de limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P). Se L > -∞ e U = +∞, o intervalo [L, +∞) é chamado de limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P).

Intervalos de tolerância possuem as seguintes propriedades úteis e interessantes:
  • Um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) também é um limite de tolerância superior unilateral (P, 1 – α).
  • Um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α )100% do (1 – P)ésimo percentil da distribuição dos dados também é um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P). Da mesma forma, um limite de confiança superior unilateral (1 – α )100% do Pésimo percentil da distribuição dos dados também é um limite de tolerância superior unilateral (1 – α , P).
  • Se L e U forem limites de tolerância inferiores e superiores unilaterais (1 – α/2 , (1 + P )/2), então [ L, U ] é um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P ) aproximado. Este método pode ser usado nos casos em que os intervalos de tolerância bilateral não podem ser obtidos diretamente. Os intervalos de tolerância bilateral resultantes são geralmente conservadores. Consulte Guenther1 e Hahn e Meeker2.
  1. Guenther, W. C. (1972). Tolerance intervals for univariate distributions. Naval Research Logistics, 19: 309–333.
  2. Hahn G. J. and Meeker W. Q. (1991). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners John Wiley & Sons, New York.

Intervalos de tolerância não paramétricos exatos para distribuições contínuas

O Minitab calcula intervalos de tolerância não paramétricos exatos (1 – α, P), onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima da população-alvo no intervalo). O método não-paramétrico para intervalos de distribuição é um método livre de distribuição. Ou seja, o intervalo de tolerância não-paramétrico não depende da população pai de sua amostra. O Minitab usa um método exato para ambos os intervalos, unilateral e bilateral.

Permita que X 1, X 2 , ... , X n sejam as estatísticas ordenadas com base em uma amostra aleatória de alguma população distribuída continuamente F(x;θ). Logo, com base nas descobertas de Wilks1, 2 e Robbins3, pode-se mostrar que:

onde B indica a função de distribuição acumulada da distribuição beta com parâmetros a = r e b = ns + 1. Portanto, ( Xr , Xs ) é um intervalo de tolerância sem distribuição porque a cobertura do intervalo tem uma distribuição beta com valores de parâmetro conhecidos, que são independentes da distribuição da população original, F(x;θ).

Intervalos unilaterais

Permita que k seja o maior inteiro que satisfaz o seguinte:

onde Y é uma variável aleatória binomial com n e 1 – P parâmetros. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew4) que um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P) é dado por Xk . Da mesma forma, um limite de tolerância superior unilateral (1 – α, P) é dado por X n - k +1. Em ambos os casos, a cobertura real ou efetiva é dada pelo P(Y > k).

Intervalos bilaterais

Permita que k seja o menor inteiro que satisfaz o seguinte:

onde V é uma variável aleatória binomial com n e P parâmetros. Portanto,

onde F V -1(x) é a função de distribuição acumulativa inversa do V. É possível ser mostrado (consulte Krishnamoorthy e Mathew4) que um intervalo de tolerância bilateral (1 – α, P) pode ser dado como ( Xr , Xs ). O Minitab seleciona s = n - r + 1 de forma que r = ( nk + 1) / 2. Tanto r como s são arredondados para baixo, para o inteiro mais próximo. A cobertura real ou efetiva é dada por P(V < k – 1).

Notação

TermoDescrição
1 – αo nível de confiança do intervalo de tolerância
P a cobertura do intervalo de tolerância (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo)
n o número de observações na amostra
  1. Wilks, S. S. (1941). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 91–96.
  2. Wilks, S. S. (1941). Statistical prediction with special reference to the problem of tolerance limits. The Annals of Mathematical Statistics, 13, 400–409.
  3. Robbins, H. (1944). On distribution-free tolerance limits in random sampling. The Annals of Mathematical Statistics, 15, 214–216.
  4. Krishnamoorthy, K. e Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.

Distribuição lognormal

O intervalo de tolerância da distribuição lognormal usa as mesmas equações que os intervalos de tolerância da distribuição normal. Os cálculos seguem este processo:
  1. O Minitab extrai o logaritmo natural dos dados.
  2. O Minitab calcula o intervalo de tolerância dos dados transformados usando o procedimento do intervalo de tolerância da distribuição normal.
  3. O Minitab exponencia os limites do intervalo de tolerância obtidos no passo anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Para fórmulas que se aplicam à distribuição normal, vá para Métodos e fórmulas para Intervalos de tolerância (distribuição normal) e clique em "Intervalos de tolerância exatos para distribuições normais."

Intervalos de tolerância aproximados para distribuições gama

O intervalo de tolerância para a distribuição gama usa uma aproximação à distribuição normal. Krishnamoorthy, et al. conduz estudos de simulação que demonstram que a aproximação fornece resultados precisos. Os cálculos seguem este processo:

  1. O Minitab extrai a raiz cúbica dos dados.
  2. O Minitab calcula o intervalo de tolerância dos dados transformados usando o procedimento do intervalo de tolerância para a distribuição normal.
  3. O Minitab exponencia os limites do intervalo de tolerância obtidos no passo anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Para fórmulas que se aplicam à distribuição normal, vá para Métodos e fórmulas para Intervalos de tolerância (distribuição normal) e clique em "Intervalos de tolerância exatos para distribuições normais."
  1. Krishnamoorthy K., Mathew T and Mukherjee S (2008). Normal based methods for a Gamma distribution: prediction and tolerance intervals and stress-strength reliability. Technometrics, 50, 69—78.

Distribuição exponencial

O Minitab calcula os intervalos (1 – α, P) de tolerância exatos, onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo). As fórmulas diferem entre o cálculo dos limites de tolerância unilaterais e intervalos de tolerância bilaterais.

Limites de tolerância exponenciais unilaterais

Esta fórmula fornece o limite inferior:

Esta fórmula fornece o limite superior:

Intervalos de confiança exponenciais bilaterais

O Minitab usa o método de Newton para solucionar o seguinte sistema de equações. Para mais detalhes, consulte Fernandez1.

Esta fórmula fornece o intervalo bilateral:

Onde,

e o valor de k 1 depende da solução para este sistema de equações:

onde,

Notação

TermoDescrição
n o tamanho amostral
a média da amostra
P a porcentagem mínima alvo da população no intervalo
o percentil α th da distribuição qui-quadrado com 2n graus de liberdade
α 1 − nível de confiança
a função de distribuição acumulada da distribuição qui-quadrado com 2n graus de liberdade
  1. Fernandez, Arturo J. (2010). Two-sided tolerance intervals in the exponential case: Corrigenda and generalizations. Computational Statistics and Data Analysis, 54, 151—162.

Distribuição do menor valor extremo

O Minitab calcula intervalos de tolerância (1 – α, P) exatos com base em Lawless1, onde 1 – α é o nível de confiança e P é a cobertura (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo).

Limites de tolerância do menor valor extremo unilateral exato

Esta fórmula fornece o limite inferior:

onde

e x é a única raiz desta função:

com

onde

e Cz é uma constante normalizadora:
Além disso, a função IGn [x] é a função gama incompleta:
Esta fórmula fornece o limite superior:

O valor de k 2 vem da reposição de α com 1 − α e P com 1 − P nas fórmulas para computar k 1.

Aproxime intervalos bilaterais de tolerância de menor valor extremo

Para calcular o intervalo bilateral aproximado, substitua α por α/2 e P por (P + 1)/2 nas fórmulas para computar os limites de tolerância unilaterais.

Notação

TermoDescrição
a estimativa da máxima verossimilhança do parâmetro de local da distribuição de valor extremo
a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro de escala do distribuição de valor extremo
, as observações centradas com base nas estimativas MLE dos parâmetros de escala e local da distribuição do menor valor extremo
t o α th percentil da distribuição-t não central com n − 1 graus de parâmetro não centralidade e liberdade δP
1 - α o nível de confiança do intervalo de tolerância
P a cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo)
n o número de observações na amostra
  1. Lawless, J. F. (1975). Construction of tolerance bounds for the extreme-value and the Weibull distribution. Technometrics, 17, 255—261.

Distribuição Weibull

O intervalo de tolerância para a distribuição Weibull usa as mesmas equações que os intervalos de tolerância para a distribuição de menor valor extremo. Os cálculos seguem este processo:
  1. O Minitab extrai o logaritmo natural dos dados.
  2. O Minitab calcula um intervalo de tolerância dos dados transformados usando o procedimento de intervalo de tolerância para a distribuição de menor valor extremo.
  3. O Minitab determina exponentes aos limites do intervalo de tolerância obtidos na etapa anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.
Para as fórmulas que se aplicam à distribuição do menor valor extremo, vá para a seção na distribuição do menor valor extremo.

Distribuição do maior valor extremo

O intervalo de tolerância da distribuição de maior valor extremo usa as mesmas equações que os intervalos de tolerância da distribuição do menor valor extremo. Os cálculos seguem este processo:
  1. O Minitab multiplica os dados por −1.
  2. O Minitab calcula uma tolerância para os dados transformados usando o procedimento de intervalo de tolerância da distribuição do menor valor extremo.
  3. O Minitab determina exponentes aos limites do intervalo de tolerância obtidos na etapa anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.

Para as fórmulas que se aplicam à distribuição do menor valor extremo, vá para a seção na distribuição do menor valor extremo.

Distribuição logística

O Minitab calcula intervalos de tolerância (1 – α, P) aproximados com base em Bain e Engelhardt1, onde 1 – α é o nível de confiança P é a cobertura (a porcentagem mínima alvo da população no intervalo). As fórmulas diferem entre o cálculo de um dos limites de tolerância unilaterais e intervalos de tolerância bilaterais.

Limites de tolerância de logística unilateral

Esta fórmula fornece o limite inferior:
Esta fórmula fornece o limite superior:
Esta fórmula fornece o fator de tolerância, k, nestas fórmulas para os limites:

onde

Os intervalos de tolerância de logística bilaterais

Para calcular o intervalo bilateral aproximado, substitua α por α/2 e P por (P + 1)/2 nas fórmulas para computar os limites de tolerância unilaterais.

Notação

TermoDescrição
no número de observações na amostra
z1−αo 1 - α percentil da distribuição normal padrão
q1–Po 1 – P percentil da distribuição logística padrão
C11
C22
C12
a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro do local de logística
a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro de escala de logística
  1. Bain, L. and Englehardt, M. (1991). Statistical analysis of reliability and life testing models: Theory and Methods. Second edition, Marcel Dekker, Inc.

Distribuição loglogística

O intervalo de tolerância da distribuição de loglogística usa as mesmas equações que os intervalos de tolerância da distribuição logística. Os cálculos seguem este processo:
  1. O Minitab toma o logaritmo natural dos dados.
  2. O Minitab calcula o intervalo de tolerância para os dados transformados usando o procedimento do intervalo de tolerância para a distribuição logística.
  3. O Minitab exponencia os limites do intervalo de tolerância obtidos no passo anterior para transformar o intervalo na escala dos dados originais.

Para fórmulas que se aplicam à distribuição logística, vá para a seção na distribuição de logística.

Teste de Anderson-Darling

O Minitab usa estatísticas de Anderson-Darling para realizar o teste de qualidade do ajuste.

Seja Z = F(X), onde F(X) é a função de distribuição acumulada. Suponha que uma amostra X1, .., Xn fornece valores Z(i) = F(Xi), i=1,.., n. Reorganize Z(i) em ordem crescente, Z(1) < Z(2) <...<Z(n). Em seguida, a estatística de Anderson-Darling (A2) é calculada da seguinte maneira:

  • A2 = –n - (1/n) Σi[(2i – 1) log Z(i) + (2n + 1 – 2i) log (1 – Z(i))]

A estatística do teste de qualidade de ajuste modificada de Anderson-Darling é calculada para cada distribuição. Os valores de p são baseados na tabela dada por D'Agostino e Stephens.1 Se nenhum valor de p exato for encontrado na tabela, o Minitab calcula o valor de p com base na interpolação utilizando uma variação do valor de p.

1 R.B. D'Agostino and M.A. Stephens (1986). Goodness-of-Fit Techniques. Marcel Dekker.
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