O que é uma função de distribuição acumulada inversa (ICDF)?

A função de distribuição acumulada inversa dá o valor associado com uma probabilidade acumulada específica. Use a FDA inversa para determinar o valor da variável associada com uma probabilidade específica.

Exemplo de uso de ICDF para determinar os períodos de garantia

Por exemplo, uma fabricante de aparelhos investiga tempos de falha para o elemento de aquecimento dentro de suas torradeiras. Ele quer determinar a hora em que proporções específicas de elementos aquecedores irão falhar, de forma ele possa definir o período de garantia. Os tempos de falha do elemento de aquecimento seguem uma distribuição normal com uma média de 1000 horas e um desvio padrão de 300 horas. A função de densidade de probabilidade (FDP) ajuda a identificar áreas de probabilidades de falha superiores e inferiores. A FDA inversa dá o tempo de falha correspondente para cada probabilidade acumulada.

Use a FDA inversa para estimar o tempo no qual 5% dos elementos de aquecimento irão falhar, os tempos entre os quais 95% de todos os elementos de aquecimento irão falhar ou o tempo no qual somente 5% dos elementos de aquecimento permanecem. A FDA inversa para probabilidades acumuladas específicas é igual ao tempo de falha no lado direito da área sombreada sob a curva de FDP.

Determine o momento em que 5% falhará

  1. Selecione Calc > Distribuições de Probabilidade > Normal.
  2. Selecione Probabilidade acumulada inversa. Em Média, insira 1000. Em Desvio padrão, insira 300. Em Constante de entrada, insira 0,05.
  3. Clique em OK.

O momento em que 5% prevê-se que os elementos de aquecimento falhem é a FDA inversa de 0,05 ou 506,544 horas.

Este gráfico mostra a FDA inversa.

Determinar os momentos entre as quais 95% falharão

  1. Selecione Calc > Distribuições de Probabilidade > Normal.
  2. Selecione Probabilidade acumulada inversa. Em Média, insira 1000. Em Desvio padrão, insira 300. Em Constante de entrada, insira 0,025. Clique em OK.

    O momento em que 2,5% prevê-se que os elementos de aquecimento falham é a FDA inversa de 0,025 ou 412 horas.

  3. Repita a etapa 2, mas digite 0,975 em vez de 0,025. Clique em OK.
    O momento em que 97,5% é previsto que os elementos de aquecimento falhem é a FDA inversa de 0,975 ou 1588 horas.

Portanto, os tempos entre os quais é previsto que 95% de todos os elementos de aquecimento falhem é a FDA inversa de 0,025 e a FDA inversa de 0,975 ou 412 horas e 1588 horas.

Este gráfico mostra a FDA inversa.

Determine o tempo em que 5% sobreviverão

  1. Selecione Calc > Distribuições de Probabilidade > Normal.
  2. Selecione Probabilidade acumulada inversa. Em Média, insira 1000. Em Desvio padrão, insira 300. Em Constante de entrada, insira 0,95.
  3. Clique em OK.

O momento em que 5% prevê-se que os elementos de aquecimento permaneçam é a FDA inversa de 0,95 ou 1493 horas.

Este gráfico mostra a FDA inversa.

Exemplo de uso da FDA e da ICDF com a distribuição hipergeométrica

Ao tentar determinar a probabilidade acumulada inversa de uma distribuição discreta, a saída contém dois conjuntos de colunas.

Suponha que você tenha a probabilidade acumulada inversa de uma proporção, p. O primeiro conjunto de colunas na saída lista os maiores x, tal que P (X ≤ x) ≤ p. O segundo conjunto de colunas lista os menores x tal que P (X ≤ x) ≥ p.

Calcule a probabilidade acumulada de uma distribuição hipergeométrica

  1. Na coluna C1 da worksheet, digite 0 1 2.
    C1
    0
    1
    2
  2. Selecione Calc > Distribuições de Probabilidade > Hipergeométrica.
  3. Selecione Probabilidade acumulada.
  4. Em Tamanho da população (N), digite 20000.
  5. Em Contagem de eventos na população (M), digite 2000.
  6. Em Tamanho amostral (n), digite 20.
  7. Selecione Coluna de entrada e insira C1. Clique em OK.
Esta saída aparece na janela Session:

Função Distribuição Acumulada

Hipergeométrica com N = 20000, M = 2000 e n = 20 x P( X ≤ x ) 0 0,121448 1 0,391619 2 0,676941
Você pode interpretar a saída da seguinte maneira:
  • P(X ≤ 0) = 0,121448. A probabilidade de obter 0 defeitos é de aproximadamente 12%.
  • P(X ≤ 1) = 0,391619. A probabilidade de obter 0, ou 1 defeito é de aproximadamente 39%.
  • P(X ≤ 2) = 0,676941. A probabilidade de obter 0, 1, ou 2 defeitos é de aproximadamente 68%.

Calcule a probabilidade acumulada de uma distribuição inversa hipergeométrica

Agora que você conhece as probabilidades acumuladas associadas com o número de defeitos, calcula a probabilidade acumulada inversa.

Suponha que você queira calcular o número de defeitos, x, tal que a probabilidade acumulada, p, seja de 0,50. A partir dos resultados anteriores, você sabe que P (X ≤ 1) = 0,391619 e P (X ≤ 2) = 0,676941. Como a distribuição hipergeométrica é uma distribuição discreta, o número de defeitos não pode estar entre 1 e 2. Em outras palavras, você pode ter 1 ou 2 defeitos, mas não 1,4 defeitos. Portanto, se você escolher Constante de entrada e inserir 0,50, o Minitab calcula as probabilidades na saída da janela Session, como mostrado no exemplo a seguir:

  1. Selecione Calc > Distribuições de Probabilidade > Hipergeométrica.
  2. Selecione Probabilidade acumulada inversa.
  3. Em Tamanho da população (N), digite 20000.
  4. Em Contagem de eventos na população (M), digite 2000.
  5. Em Tamanho amostral (n), digite 20.
  6. Selecione Constante de entrada, e digite 0,50. Clique em OK.
Esta saída aparece na janela Session:

Função Distribuição Acumulada Inversa

Hipergeométrica com N = 20000, M = 2000 e n = 20 x P( X ≤ x ) x P( X ≤ x ) 1 0,391619 2 0,676941

A primeira probabilidade indica um valor de x de modo a que P (X ≤ X) < p e a segunda probabilidade indica o menor x tal que P (X ≤ x) ≥ p. Neste exemplo, a primeira probabilidade mostra o maior número de defeituosos, x = 2, de modo que P (X ≤ 2) < 0,5 e a 2a mostra o menor número de defeituosos, x = 3, de modo a que P (X ≤ 3) ≥ 0,5.

Use a ICDF para calcular os valores essenciais

Você pode usar o Minitab para calcular um valor crítico para um teste de hipóteses, em vez de olhar em uma tabela.

Suponha que você faça um teste do qui-quadrado com um α = 0,02 e 12 graus de liberdade. Qual é o valor crítico correspondente? Um α=0,02 corresponde a um valor de probabilidade acumulada de 1 - 0,02 = 0,98.

  1. Selecione Calc > Distribuições de Probabilidade > Qui-Quadrado.
  2. Selecione Probabilidade acumulada inversa.
  3. Em Graus de liberdade, insira 12.
  4. Escolha Constante de entrada e insira 0,98.
  5. Clique em OK.

O Minitab exibe o valor crítico, 24,054, na janela Session. Para o teste do qui-quadrado, se a estatística do teste for maior que o valor crítico, é possível concluir que não há evidência estatística para rejeitar a hipótese nula.

Observação

Este exemplo utiliza a distribuição qui-quadrado. No entanto, você deve seguir estas mesmas etapas para qualquer distribuição selecionada.

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