Métodos e fórmulas para Distribuições de probabilidades

Selecione o método ou a fórmula de sua escolha.

Função densidade de probabilidade

A função de densidade de probabilidade (FDP) de uma variável aleatória, X, permite calcular a probabilidade de um evento, como a seguir:
  • Para distribuições contínuas, a probabilidade de que X tenha os valores em um intervalo (a, b) é exatamente a área sob a sua FDP no intervalo (a, b).
  • Para as distribuições discretas, a probabilidade de que X tenha os valores em um intervalo (a, b) é exatamente a soma das FDP (também chamadas de função de densidade de probabilidade) dos possíveis valores discretos de X em (a, b).
Use a FDP para determinar o valor da função densidade de probabilidade em um valor de x conhecido da variável aleatória X.

Função distribuição acumulada

A função distribuição acumulada (FDA) calcula a probabilidade acumulada para um determinado valor de x. Utilize a FDA para determinar a probabilidade de que uma observação aleatória que é extraída da população seja menor ou igual a um determinado valor. Também é possível usar essas informações para determinar a probabilidade de que uma observação seja maior do que um determinado valor ou esteja entre dois valores.
  • Para distribuições contínuas, a FDA dá a área sob a função densidade de probabilidade, até o valor de x que você especificar.
  • Para distribuições discretas, a FDA dá a probabilidade acumulada para os valores de x que você especificar.

Probabilidade acumulada inversa

Para um número p no intervalo fechado [0,1], a função de distribuição acumulada inversa (ICDF) de uma variável aleatória X determina, sempre que possível, um valor x de modo que a probabilidade de X ≤ x seja maior ou igual a p .

A ICDF para distribuições contínuas

A ICDF é o valor que está associado com uma área sob a função densidade de probabilidade. A ICDF é a inversa da função distribuição acumulada (FDA), que é a área associada a um valor.

Para todas as distribuições contínuas, existe a ICDF e ela é única se 0 < p < 1.

  • Quando a função de densidade de probabilidade (FDP) é positiva para toda a linha número real (por exemplo, uma FDP normal), a ICDF não é definida por qualquer p = 0 ou p = 1.
  • Quando a FDP for positiva para todos os valores que são maiores do que algum valor (por exemplo, a FDP do qui-quadrado), a ICDF é definida para p = 0, mas não para P = 1.
  • Quando a FDP é positiva apenas em um intervalo (por exemplo, a FDP uniforme), a ICDF é definida para p = 0 e p = 1.
  • Quando a ICDF não está definida, o Minitab retorna um valor faltante (*) para o resultado.
A ICDF para distribuições discretas
A ICDF é mais complicada para distribuições discretas do que é para distribuições contínuas. Ao calcular a FDA para uma binomial com, por exemplo, n = 5 e p = 0,4, não existe um valor x tal que a FDA seja de 0,5. Para x = 1, a FDA é 0,3370. Para x = 2, a FDA aumenta para 0,6826.
Quando a ICDF é exibido na janela Session (isto é, os resultados não são armazenados), ambos os valores de x são exibidos. Quando a ICDF é armazenada, o maior dos dois valores é armazenado.

Distribuição Beta

A distribuição beta é normalmente usada para representar processos com limites naturais inferiores e superiores.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

TermoDescrição
α parâmetro de forma 1
β parâmetro de forma 2
Γfunção gama
a limite inferior
b limite superior

Quando a = 0, b = 1,

o FDP é:

Distribuição binomial

A distribuição binomial é usada para representar o número de eventos que ocorrem dentro de n tentativas independentes. Os valores possíveis são números inteiros de zero a n.

Fórmula

média = np

variância = np(1 – p)

A função de massa de probabilidade (FMP) é:

Onde é igual a .

Em geral, é possível calcular k! como

Notação

TermoDescrição
n número de ensaios
x número de eventos
p probabilidade de evento

Distribuição Cauchy

A distribuição Cauchy é simétrica em torno de zero, mas as caudas se aproximam de zero menos rapidamente do que aqueles da distribuição normal.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

TermoDescrição
a parâmetro de localização
b parâmetro de escala
π Pi (~3,142)
Observação

Se você não especificar valores, o Minitab usa a = 0 e b = 1.

Distribuição Qui-Quadrado

Se X tiver uma distribuição normal padrão, X2 tem uma distribuição do qui-quadrado com um grau de liberdade, permitindo que ele seja uma distribuição de amostragem utilizada.

A soma de n variáveis X2 independentes (onde X tem uma distribuição normal padrão) tem uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. A forma da distribuição do qui-quadrado depende do número de graus de liberdade.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

médoa = v

variância = 2v

Notação

TermoDescrição
ν graus de liberdade
Γfunção gama
e base do logaritmo natural

Distribuição discreta

A distribuição discreta é aquela que você mesmo define. Por exemplo, suponha que você esteja interessado em uma distribuição composta por três valores -1, 0, 1, com probabilidades de 0,2, 0,5 e 0,3, respectivamente. Se você digitar os valores em colunas de uma worksheet, pode usar essas colunas para gerar dados aleatórios ou para calcular probabilidades.

Valor Prob
−1 0,2
0 0,5
1 0,3

Distribuição exponencial

A distribuição exponencial pode ser utilizada para modelar o tempo entre falhas, como quando as unidades possuem uma taxa constante e instantânea de falha (função de risco). A distribuição exponencial é um caso especial da distribuição Weibull e da distribuição gama.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = θ + λ

variância = θ2

Notação

TermoDescrição
θ parâmetro de escala
λ parâmetro de limite
exp base do logaritmo natural
Observação

Algumas referências usam 1 / θ como um parâmetro.

Distribuição F

A distribuição F também é conhecida como a distribuição de variância-proporção e tem dois tipos de graus de liberdade: graus de liberdade do numerador e denominador graus de liberdade. Ela é uma distribuição de proporção de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida por seus graus de liberdade.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

TermoDescrição
Γfunção gama
u graus de liberdade do numerador
v graus de liberdade do denominador

Distribuição gama

A distribuição gama é normalmente usada para modelar dados positivamente assimétricos.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

média = ab + θ

variância = ab2

Notação

TermoDescrição
a parâmetro de forma (quando a = 1 o FDP de gama for igual ao FDP exponencial)
b parâmetro de escala
θ parâmetro de limite
Γfunção gama
e base do logaritmo natural
Observação

Algumas referências usam 1/ b como um parâmetro.

Distribuição geométrica

A distribuição geométrica discreta se aplica a uma sequência de experimentos independentes de Bernoulli com um evento de interesse que tem probabilidade p.

Fórmula

Se a variável aleatória X for o número total de ensaios necessários para produzir um evento com a probabilidade p, a função de massa de probabilidade (FMP) de X é dada por:

e X apresenta as seguintes propriedades:

Se a variável aleatória Y for o número de não eventos que ocorrem antes de o primeiro evento com a probabilidade p ser observado, a função de massa de probabilidade (FMP) de Y é dada por:

e Y apresentações das propriedades a seguir:

Notação

TermoDescrição
X número total de ensaios necessários para produzir um evento, Y + 1
Y número de não eventos que ocorrem antes do primeiro evento
p probabilidade de ocorrência de um evento em cada ensaio

Distribuição Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica é usada para amostras extraídas de populações relativamente pequenas, sem substituição. Por exemplo, você tem uma remessa de N televisores, onde N1 são bons (sucessos) e N2 são defeituosos (falha). Se você amostrar n televisores de N aleatoriamente, sem substituição, pode encontrar a probabilidade de que exatamente x dos n televisores estão bons.

Fórmula

A função de massa de probabilidade (FMP) é:

Notação

TermoDescrição
N N1 + N2 = tamanho da população
N1 número de eventos na população
N2 número de não eventos na população
n tamanho amostral
x número de eventos na amostra

Distribuição inteira

A distribuição inteira é uma distribuição uniforme discreta em um conjunto de números inteiros. Cada inteiro tem igual probabilidade de ocorrência.

Distribuição normal

A distribuição normal (também chamada distribuição de Gauss), é a distribuição estatística mais utilizada por causa dos muitos processos físicos, biológicos e sociais que pode modelar.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = μ

variância = σ 2

desvio padrão = σ

Notação

TermoDescrição
expbase do logaritmo natural
π Pi (~3,142)

Distribuição de Laplace

A distribuição de Laplace é utilizada quando a distribuição de dados tiver mais picos do que a distribuição normal.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

média = a

variância = 2b2

Notação

TermoDescrição
a parâmetro de localização
b parâmetro de escala
e base do logaritmo natural

Distribuição do maior valor extremo

Use a distribuição do maior valor extremo para modelar o maior valor de uma distribuição. Se você tiver uma sequência de distribuições exponenciais, e X(n) for o máximo do primeiro n, X(n) – ln(n) converge em distribuição para a distribuição de maior valor extremo. Assim, para grandes valores de n, a distribuição de maior valor extremo é uma boa aproximação para a distribuição de X(n) – ln(n).

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = μ + γσ

variância = π 2 σ 2 / 6

Notação

TermoDescrição
σ parâmetro de escala
μ parâmetro de localização
γ Constante de Euler (~0,57722)

Distribuição logística

É uma distribuição contínua que é simétrica, semelhante à distribuição normal, mas com caudas mais pesadas.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

média = μ

Notação

TermoDescrição
μ parâmetro de localização
σ parâmetro de escala

Distribuição loglogística

Uma variável x tem uma distribuição loglogística com limite λ se Y = log (xλ) tiver uma distribuição logística.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

quando σ < 1:

quando σ < 1/2:

Notação

TermoDescrição
μ parâmetro de localização
σ parâmetro de escala
λ parâmetro de limite
Γfunção gama
exp base do logaritmo natural

Distribuição lognormal

Uma variável x tem uma distribuição lognormal se log(xλ ) tiver uma distribuição normal.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

Notação

TermoDescrição
μ parâmetro de localização
σ parâmetro de escala
λ parâmetro de limite
π Pi (~3,142)

Distribuição binomial negativa

A distribuição binomial negativa discreta se aplica a uma série de experimentos de Bernoulli com um evento de interesse que tem probabilidade p.

Fórmula

Se a variável aleatória X for o número de ensaios necessários para produzir r eventos que tenham cada um a probabilidade p, a função de massa de probabilidade (FMP) de X é dada por:
e X apresenta as seguintes propriedades:

Se a variável aleatória Y é o número de não eventos que ocorrem antes de observar os eventos r, que têm cada um a probabilidade p, a função de massa de probabilidade (FMP) de Y é dada por:

e Y apresentações das propriedades a seguir:

Observação

Esta distribuição binomial negativa também é conhecida como distribuição de Pascal.

Notação

TermoDescrição
X Y + r
r número de eventos
p probabilidade de um evento

Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta que modela o número de eventos baseados em uma taxa constante de ocorrência. A distribuição de Poisson pode ser usada como uma aproximação ao binomial quando o número de ensaios independentes é grande a probabilidade de sucesso é pequena.

Fórmula

A função de massa de probabilidade (FMP) é:

média = λ

variância = λ

Notação

TermoDescrição
e base do logaritmo natural

Distribuição do menor valor extremo

Use a distribuição do menor valor extremo para modelar o menor valor de uma distribuição. Se Y segue uma distribuição Weibull, o log(Y) segue a distribuição de menor valor extremo.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

Notação

TermoDescrição
ξ parâmetro de localização
θ parâmetro de escala
e base do logaritmo natural
v Constante de Euler (~0,57722)

Distribuição-t

A distribuição t converge para a distribuição normal conforme aumentam os graus de liberdade. A t-distribuição é útil para fazer o seguinte:
  • Criar intervalos de confiança da média da população de uma distribuição normal quando a variância for desconhecida.
  • Determinar se duas médias amostrais de populações normais com variâncias desconhecidas, porém iguais, são significativamente diferentes.
  • Os testes da significância para os coeficientes de regressão.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

média = 0, quando ν > 0

Notação

TermoDescrição
Γfunção gama
v graus de liberdade
π Pi (~3,142)

Distribuição triangular

O FDP da distribuição triangular tem uma forma triangular.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

TermoDescrição
a ponto de extremidade inferior
b ponto de extremidade superior
c modo (local onde o FDP entra em pico)

Distribuição uniforme

A distribuição uniforme caracteriza dados sobre um intervalo uniforme, com a como o menor valor e b como o maior valor.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

Notação

TermoDescrição
a ponto de extremidade inferior
b ponto de extremidade superior

Distribuição Weibull

A distribuição Weibull é útil para modelar os tempos de falha do produto.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (FDP) é:

A função de distribuição acumulada (FDA) é:

Notação

TermoDescrição
α parâmetro de escala
β parâmetro de forma, quando β = 1 o FDP de Weibull é for igual ao FDP exponencial
λ parâmetro de limite
Γfunção gama
exp base do logaritmo natural
Observação

Algumas referências usam 1/α como um parâmetro.

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