Métodos e fórmulas para Regressão logística nominal

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Modelo

O Minitab calcula K – 1 funções de logit para um modelo com K categorias de resposta. Por exemplo, uma resposta com três categorias (1, 2, 3) tem duas funções de logit (evento de referência = 3):

Fórmula

Notação

TermoDescrição
gk ( x ) função de ligação do logit
θk constante associada à k ésima categoria de resposta distinta
x k vetor das variáveis preditoras
b k vetor dos coeficientes associados à k ésima função de logit

Padrão de fator/covariável

Descreve um conjunto único de valores de fator/covariável em um conjunto de dados. O Minitab calcula probabilidades de evento, resíduos e outras medidas diagnósticas para cada padrão de fator/covariável.

Por exemplo, se um conjunto de dados inclui os fatores sexo e raça e a covariável idade, a combinação dessas preditoras pode conter tantos padrões de covariáveis diferentes quanto de indivíduos. Se um conjunto de dados só inclui os fatores raça e sexo, cada um codificado em dois níveis, só há quatro padrões de fator/covariáveis possíveis. Se você inserir seus dados como frequências, ou como sucessos, tentativas ou falhas, cada linha conterá um padrão de fator/covariável.

Probabilidade de evento

Denotado como π. Para um modelo de três categorias com as categorias 1, 2 e 3 (evento de referência 3), as probabilidades condicionais são:

Fórmula

E a probabilidade do evento é:

π k (x) = P(y = k| x ) para k = 1, 2, 3. Cada probabilidade é uma função do vetor de 2(p + 1) parâmetros, b ' = ( b '1, b '2)

Log-verossimilhança

A função log-verossimilhança é maximizada para produzir valores ótimos de b. Para um modelo com 3 categorias de resposta (referência = 3), a função de log-verossimilhança é:

As equações de verossimilhança são encontradas tomando-se os primeiros derivativos parciais de L(b) para cada um dos 2 (p + 1) parâmetros. A forma geral dessas equações é:

As estimativas de máxima verossimilhança são obtidas ajustando-se essas equações para zero e resolvendo para b.

Notação

TermoDescrição
k 1, 2
j 0, 1, 2, ......, p
pnúmero de coeficientes no modelo, não incluindo os coeficientes da constante
πki πk(xi), com x0i para cada assunto

Coeficientes

As estimativas de máxima verossimilhança, também chamados de estimativas de parâmetro. Se houver K valores de resposta distintos, o Minitab estima K – 1 conjuntos de estimativas de parâmetro para cada preditora. Os efeitos variam de acordo com a categoria de resposta comparada ao evento de referência. Cada logit fornece as diferenças estimadas no log de chances de uma categoria de resposta versus o evento de referência. Os parâmetros nas equações K – 1 determinam parâmetros para logits usando todos os outros pares de categorias de resposta.

Os coeficientes estimados são calculados usando-se um método de mínimos quadrados reponderados iterativo, que é equivalente à estimativa de máxima verossimilhança.1,2

Referências

  1. D.W. Hosmer and S. Lemeshow (2000). Applied Logistic Regression. 2a. ed. John Wiley & Sons, Inc.
  2. P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

Erro padrão de coeficientes

O erro padrão assintótico, que indica a precisão do coeficiente estimado. Quanto menor o erro padrão, mais precisa é a estimativa.

Consulte [1] e [2] para obter mais informações.

  1. A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.
  2. P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

Z

A estatística-Z usada para determinar se a preditora está significativamente relacionada à resposta. Valores absolutos maiores de Z indicam uma relação significativa. O valor-p indica on Z cai na distribuição normal.

Fórmula

Z = βi / erro padrão

A fórmula da constante é:

Z = θk / erro padrão

Para pequenas amostras, o teste de razão de verossimilhança pode ser um teste mais confiável de significância.

valor-p (P)

Usado nos testes de hipóteses para ajudá-lo a decidir se deve rejeitar ou não rejeitar uma hipótese nula. O valor-p é a probabilidade de se obter uma estatística de teste que seja pelo menos tão extrema quanto o valor calculado real, se a hipótese nula for verdadeira. Um valor cortado comumente usado para o valor-p é 0,05. Por exemplo, se o valor-p calculado de uma estatística de teste for menor do que 0,05, você rejeita a hipótese nula.

Razão de chances

Útil na interpretação da relação entre a preditora e a resposta.

A razão de chances (q) pode ser qualquer número não negativo. Uma razão de chances de 1 serve como a linha de base para comparação. Se θ = 1, não há associação entre a resposta e a preditora. Se θ > 1, as chances do evento de resposta da comparação são maiores para o nível de referência do fator (ou para níveis mais altos de uma preditora contínua). Se θ < 1, as chances do evento de resposta de comparação são menores para o nível de referência do fator (ou para níveis mais altos de uma preditora contínua). Os valores mais distantes de 1 representam graus mais fortes de associação.

Por exemplo, para um modelo com três categorias de resposta (1, 2, 3) e uma preditora, a razão de chances especifica as chances para a categoria de resultados k versus a categoria de resultados usada como evento de referência (neste exemplo, 3). A seguir encontra-se uma fórmula para a razão de chances de uma preditora com dois níveis, a e b.

Fórmula

Notação

TermoDescrição
k categoria de resultados

Intervalo de confiança

Fórmula

O intervalo de confiança da amostra maior para βi é:

β i + Zα /2* (erro padrão)

Para obter o intervalo de confiança das razões de chances, exponencie os limites inferior e superior do intervalo de confiança. O intervalo fornece a amplitude no qual as chances podem se encaixar para cada mudança de unidade na preditora.

Notação

TermoDescrição
α nível de significância

Matriz de variância-covariância

Uma matriz quadrada com as dimensões p +1 × (K – 1). A variância de cada coeficiente está na célula diagonal e a covariância de cada par de coeficientes está na célula fora da diagonal apropriada. A variância é o erro padrão do coeficiente quadrado.

A matriz de variância-covariância é assintótica e é obtida da iteração final do inverso da matriz de informação. A matriz de segundos derivativos parciais é usada para obter a matriz de covariância.

Notação

TermoDescrição
p número de preditoras
K número de categorias na resposta

Pearson

Uma estatística de resumo baseada nos resíduos de Pearson que indica quão bem o modelo se ajusta aos seus dados. A Pearson não é útil quando o número de valores distintos da covariável é aproximadamente igual ao número de observações, mas é útil quando você tem observações repetidas no mesmo nível das covariáveis. Valores maiores de estatísticas de teste χ2 e valores inferiores do valor-p indicam que o modelo pode não se ajustar bem aos dados.

A fórmula é:

onde r = Pearson residual, m = número de ensaios no jésimo padrão de fator/covariável, e π0 = valor hipotético para a proporção.

Deviance

Um estatística de resumo baseada nos resíduos Deviance que indica quão bem o modelo se ajusta aos seus dados. O Deviance não é útil quando o número de valores distintos é aproximadamente igual ao número de observações, mas o teste é útil quando você tem observações repetidas no mesmo nível das covariáveis. Valores maiores de D e valores inferiores de valor-p indicam que o modelo pode não se ajustar bem aos dados. Os graus de liberdade para o teste é (k - 1)*J − (p) onde k é o número de categorias na resposta, J é o número de padrões de fator/covariável distintos e p é o número de coeficientes.

A fórmula é:

D =2 Σ yik log p ik− 2 Σ yik log π ik

onde πik = probabilidade da iésima observação para a késima categoria.

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