Métodos e fórmulas para a equação estimada em Ajustar modelo logístico binário

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Coeficientes

Existem dois métodos para encontrar as estimativas de verossimilhança máxima dos coeficientes. Um método é para maximizar diretamente a função de verossimilhança com respeito aos coeficientes. Essas expressões são não-lineares nos coeficientes. O método alternativo é usar uma abordagem iterativa por mínimos quadrados reponderados, que é o método que o Minitab usa para obter as estimativas dos coeficientes. McCullagh e Nelder1 mostram que os dois métodos são equivalentes. Contudo, o método iterativo por mínimos quadrados reponderados é mais fácil de implementar. Para detalhes, consulte 1.

[1] P. McCullagh and J. A. Nelder (1989). Generalized Linear Models, 2a. Ed., Chapman & Hall/CRC, Londres.

Erro padrão de coeficientes

O erro padrão do iésimo coeficiente é a raiz quadrada positiva do iésimo elemento diagonal da matriz de variância-covariância. A matriz de variância-covariância tem a seguinte forma:

W é uma matriz diagonal onde os elementos diagonais são dados pela seguinte fórmula:

onde

Esta matriz de variância-covariância está baseada na matriz Hessiana observada em oposição à matriz de informação de Fisher. O Minitab usa a matriz Hessiana observada porque o modelo que resulta é mais robusto contra qualquer especificação incorreta média condicional.

Se a ligação canônica for usada, a matriz Hessiana observada e a matriz de informações de Fisher são idênticas.

Notação

TermoDescrição
yio valor de resposta da iésima linha
a resposta média estimada da iésima linha
V(·)a função de variância dada na tabela a seguir
g(·)a função de ligação
V '(·)o primeiro derivativo da função de variância
g'(·)o primeiro derivativo da função de ligação
g''(·)o segundo derivativo da função de ligação

A função de variância depende do modelo:

Modelo Função de variância
Binomial
Poisson

Consulte [1] e [2] para obter mais informações.

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

Z

A estatística-Z usada para determinar se a preditora está significativamente relacionada à resposta. Valores absolutos maiores de Z indicam uma relação significativa. A fórmula é:

Notação

TermoDescrição
Zi A estatística de teste para uma distribuição normal padrão
O coeficiente estimado
O erro padrão do coeficiente estimado

Para pequenas amostras, o teste de razão de verossimilhança pode ser um teste mais confiável de significância. Os valores-p da razão de verossimilhança estão na tabela deviance. Quando o tamanho amostral é grande o bastante, os valores-p das estatísticas Z aproximam os valores-p das estatísticas da razão de verossimilhança.

valor-p (P)

Usado nos testes de hipóteses para ajudá-lo a decidir se deve rejeitar ou não rejeitar uma hipótese nula. O valor-p é a probabilidade de se obter uma estatística de teste que seja pelo menos tão extrema quanto o valor calculado real, se a hipótese nula for verdadeira. Um valor cortado comumente usado para o valor-p é 0,05. Por exemplo, se o valor-p calculado de uma estatística de teste for menor do que 0,05, você rejeita a hipótese nula.

Razões de chances para regressão logística binária

A razão de chances é fornecida somente se você selecionar a função de ligação do logit para um modelo com uma resposta binária. Neste caso, a razão de chances é útil na interpretação da relação entre uma preditora e uma resposta.

A razão de chances (q) pode ser qualquer número não negativo. A razão de chances de 1 serve como a linha de base para comparação. Se τ = 1, não há associação entre a resposta e a preditora. Se τ < 1, as chances do evento são maiores para o nível de referência do fator (ou para níveis mais altos de uma preditora contínua). Se τ > 1, as chances do evento são menores para o nível de referência do fator (ou para níveis menores de uma preditora contínua). Os valores mais distantes de 1 representam graus mais fortes de associação.

Observação

Para o modelo de regressão logística binária com uma covariável ou fator, as chances estimadas de sucesso são:

A relação exponencial fornece uma interpretação para β: as chances aumentam multiplicativamente por eβ1 para cada aumento de uma unidade em x. A razão de chances é equivalente a exp(β1).

Por exemplo, se β for 0,75, a razão de chances é exp(0,75), que é 2,11. Isso indica que há um aumento de 111% nas chances de sucesso para cada aumento de uma unidade em x.

Notação

TermoDescrição
a probabilidade estimada de um sucesso para a iésima linha nos dados
o coeficiente intercepto estimado
o coeficiente estimado para preditora x
o ponto de dados para a iésima linha

Intervalo de confiança

O grande intervalo de confiança da amostra de um coeficiente estimado é:

Para regressão logística binária, o Minitab fornece intervalos de confiança para as razões de chances. Para obter o intervalo de confiança das razões de chances, exponencie os limites inferior e superior do intervalo de confiança. O intervalo fornece o intervalo no qual as chances podem se encaixar para mudança de unidade na preditora.

Notação

TermoDescrição
o iésimo coeficiente
a probabilidade acumulada inversa da distribuição normal padrão em
o nível de significância
o erro padrão do coeficiente estimado

Matriz de variância-covariância

Uma matriz d x d, onde d é o número de preditoras mais um. A variância de cada coeficiente está na célula diagonal e a covariância de cada par de coeficientes está na célula fora da diagonal apropriada. A variância é o erro padrão do coeficiente quadrado.

A matriz de variância-covariância é da iteração final do inverso da matriz de informação. A matriz de variância-covariância tem a seguinte forma:

W é uma matriz diagonal onde os elementos diagonais são dados pela seguinte fórmula:

onde

Esta matriz de variância-covariância está baseada na matriz Hessiana observada em oposição à matriz de informação de Fisher. O Minitab usa a matriz Hessiana observada porque o modelo que resulta é mais robusto contra qualquer especificação incorreta média condicional.

Se a ligação canônica for usada, a matriz Hessiana observada e a matriz de informações de Fisher são idênticas.

Notação

TermoDescrição
yi o valor de resposta da iésima linha
a resposta média estimada da iésima linha
V(·)a função de variância dada na tabela a seguir
g(·)a função de ligação♣
V '(·)o primeiro derivativo da função de variância
g'(·)o primeiro derivativo da função de ligação
g''(·)o segundo derivativo da função de ligação

A função de variância depende do modelo:

Modelo Função de variância
Binomial
Poisson

Consulte [1] e [2] para obter mais informações.

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

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