Métodos e fórmulas para as informações do modelo em Análise de Variabilidade

Método

O Minitab usa dois métodos para analisar desvios-padrão da repetição ou medições da replicação: mínimos quadrados e máxima verossimilhança. Ambos os métodos baseiam-se em um modelo linear com uma função de ligação de log: ln (σ) = Aγ, em que A é a matriz do experimento e γ é um vetor de parâmetros a ser estimado. Uma vantagem de usar a função de ligação de log é que os valores ajustados são sempre positivos.

Os dois métodos produzem resultados equivalentes no modelo saturado quando o número de parâmetros é igual ao número de pontos de dados.

Para a estimativa de mínimos quadrados, o Minitab usa regressão de mínimos quadrados ponderados. Se o número de repetições ou replicações for o mesmo, os pesos são iguais.

Para MLE, o Minitab assume que os dados originais são provenientes de uma distribuição normal. A distribuição da variância da amostra está relacionada com a distribuição χ2.

Matriz de experimento

Minitab usa a mesma abordagem para a matriz de experimento que é usada no modelo linear generalizado (GLM), que usa a regressão para ajustar o modelo especificado. Primeiro, o Minitab cria uma matriz de experimento a partir dos fatores e do modelo que você especificar. As colunas desta matriz, chamada X, representam os termos no modelo.

A matriz do experimento tem n linhas, onde n = número de observações e vários blocos de colunas, o que corresponde aos termos do modelo. O primeiro bloco é para a constante e contém apenas uma coluna, uma coluna para todos eles. O bloco para um fator de contínuo também contém apenas uma coluna. O bloco de colunas para um fator categórico contém r colunas, onde r = graus de liberdade para o fator.

Por exemplo, um experimento fatorial fracionado possui três fatores com 2 níveis cada. O modelo inclui 3 efeitos principais. Cada linha é codificada como uma das opções a seguir:

Blocos Fator 1 Fator 2 Fator 3
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 1 1 −1
1 −1 −1 1
1 1 −1 1
1 −1 1 1
1 1 1 1

Efeitos

Os efeitos estimados para cada fator. Os efeitos só são calculados para modelos em dois níveis e não são calculados para modelos fatoriais gerais. A fórmula para o efeito de um fator é:

Efeito = Coeficiente * 2

Coeficientes (Coef)

As estimativas dos coeficientes de regressão populacional em uma equação de regressão. Para cada um dos fatores, o Minitab calcula k - 1 coeficientes, onde k é o número de níveis no fator. Para um modelo fatorial com 2 fatores, 2 níveis e completo, as fórmulas para os coeficientes para os fatores e interações são:

O erro padrão do coeficiente para este modelo fatorial com 2 fatores, 2 níveis e completo é:

Para obter mais informações sobre os modelos com mais de dois fatores ou fatores com mais de dois níveis, consulte Montgomery1.

Notação

TermoDescrição
média de y com alto nível de fator A
média global de todas as observações
média de y com alto nível de fator B
média de y com altos níveis de A e B
MSEquadrado médio do erro
nnúmero de - 1 e 1 (na matriz de covariância) para o termo estimado

Regressão ponderada

A regressão de mínimos quadrados ponderada é um método para lidar com as observações que têm variâncias não constantes. Se as variâncias são não constantes, observações com:

  • grandes variâncias devem ser dadas em relação a pesos pequenos
  • pequenas variâncias devem ser dadas em relação a pesos grandes

Os pesos refletem o número de repetições ou replicações utilizadas para calcular cada desvio padrão. Os desvios padrão com base em dados mais recebem pesos maiores.

A fórmula para os coeficientes estimados é como se segue:
Isso é equivalente a minimizar o Erro SS ponderado.

Notação

TermoDescrição
X matriz de planejamento
X' transposição da matriz do experimento
W uma matriz n x n com os pesos na diagonal
Y vetor de valores de desvio padrão do log
nnúmero de observações
wi peso para a ia observação
yi valor de desvio padrão do log para a ia observação
valor ajustado para o desvio padrão do log para a ia observação

Cálculo de pesos

É possível calcular e armazenar pesos usando variâncias adaptadas ou ajustadas com base no modelo de dispersão para ser utilizado ao analisar o modelo de localização.

Para os pesos das replicações, que usam a variância ajustada, os pesos são recíproca da variância ajustada:
  • 1 / variância ajustada
Para os pesos das replicações, que usam a variância ajustada, os pesos são a recíproca da variância ajustada para a média entre repetições. A variância da média de repetições:
  • σ2(entre) + σ2 (dentro) / número de repetições

"Entre" e "dentro" referem-se a um ensaio do experimento. A variação dentro de um ensaio é o que você medir com o desvio padrão para observações repetidas. A variação entre ensaios refere-se as fontes de variação adicionais para novos ensaios.

Quando você analisa o desvio padrão em todas as repetições, está ajustando um modelo para s (dentro). Se você tiver replicações, o Minitab combina o modelo de σ2 (dentro) e a variância de médias nas replicações para obter uma estimativa de σ2 (entre). Então, a estimativa de σ2 (entre) é recombinada com σ2 (dentro) / número de repetições para obter as estimativas de variância para as médias que são consistentes com seu modelo de dispersão.

Esta abordagem assume que σ2(entre) é constante e não depende dos níveis de fator. Se essa suposição for incorreta, você pode querer ajustar um modelo para a variância de x usando as respostas de pré-processamento com para obter σ2 entre as replicações.

Se você tiver covariáveis no modelo, deve explicá-las na variância para repetições. Você não pode ser responsável por covariáveis na variância ajustada.

1 D. C. Montgomery (1991) Design and Analysis of ExperimentsThird Edition, John Wiley & Sons.
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