Métodos e fórmulas para Teste de igualdade de variâncias

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Teste de múltiplas comparações

Intervalos de comparação múltiplos para amostras k > 2

Seja sejam k > 2 amostras independentes, cada amostra sendo independente e identicamente distribuída com a média e variância . E, suponhamos que as amostras sejam originárias a partir de populações que têm uma curtose comum.

E seja um estimador de curtose combinada para o par de amostras ( i, j) determinado como:

Seja o ponto superior da faixa de variáveis de k que são independentes e identicamente distribuídas em uma distribuição aleatória normal. Ou seja, atende ao seguinte:

em que Z1, ..., Zk são variáveis aleatórias normais padrão independentes e identicamente distribuídas. Barnard (1978) fornece um algoritmo numérico simples com base em uma quadratura Gaussiana de 16 pontos para o cálculo da função de distribuição do intervalo normal.

O procedimento de múltiplas comparações rejeita a hipótese nula de igualdade de variâncias (também chamado de homogeneidade das variâncias) se, e somente se, pelo menos um par dos intervalos a seguir não se sobrepuserem:

onde

em que ri = (ni - 3) / ni .

Referimo-nos aos intervalos acima como intervalos de múltiplas comparações ou intervalos de MC. Os intervalos de MC para cada amostra não devem ser interpretados como intervalos de confiança para os desvios padrão das populações parentais. Hochberg et al. (1982) referem-se a intervalos semelhantes para comparar médias como "intervalos de incerteza". Os intervalos de MC apresentados aqui são úteis para a comparação de desvios padrão ou variâncias de experimentos de múltiplas amostras. Quando o teste de múltipla comparação global é significativo, os desvios padrão que correspondem aos intervalos não sobrepostos são estatisticamente diferentes. (Para a derivação detalhada destes intervalos, consulte o white paper sobre Métodos de múltiplas comparações.)

Intervalos de comparação múltiplos para amostras k = 2

Quando existem apenas duas amostras, os intervalos de múltipla comparação são dados por:

em que zα / 2 é o ponto do percentil α / 2 superior da distribuição da normal padrão, ci = ni / ni - zα / 2 e Vi é dado pela seguinte fórmula:

Valor de P parar teste

Se houver 2 amostras no experimento, o Minitab calcula o valor de p para o teste de múltiplas comparações pelo método de Bonetti para um teste de 2 variâncias e uma proporção hipotética, Ρo , de 1.

Se houver k > 2 amostras no experimento, então, seja Pi j o valor de p do teste para qualquer par (i, j ) de amostras. O valor de p para o procedimento de múltiplas comparações como um teste geral de igualdade de variâncias é dado da seguinte maneira:

Para obter mais informações, incluindo simulações e algoritmos detalhados para calcular Pi j , acesse Método de Bonett, que é um white paper que tem simulações e outras informações sobre o método de Bonett.

Notação

TermoDescrição
ninúmero de observações na amostra i
Y i l a Ia observação na amostra i
mia média aparada para a amostra i com a proporção de corte de
ko número de amostras.
Sio desvio padrão da amostra i
αo nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
Ci
Zα / 2o ponto percentil superior α/2 da distribuição normal padrão
ri

Estatística de teste e Levene

O Minitab apresenta uma estatística de teste e um valor de p para o teste de Levene. A hipótese nula é que as variâncias são iguais, e a hipótese alternativa é que as variâncias não são iguais. Use o teste de Levene quando os dados forem provenientes de distribuições contínuas, mas não necessariamente normais.

O método de cálculo para o teste de Levene é uma modificação do procedimento de Levene (Levene, 1960) que foi desenvolvido por Brown e Forsythe (1974). Esse método considera as distâncias das observações da mediana da amostra em vez da média da amostra. O uso da mediana da amostra, em vez da média da amostra, torna o teste mais robusto para amostras de menor dimensão e torna o procedimento assintoticamente livre de distribuição. Se o valor de p for menor do que o de seu nível de α, rejeite a hipótese nula de que as variâncias são iguais.

Fórmula

  • H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
  • M. B. Brown and A. B. Forsythe (1974). "Robust tests for the equality of variance," Journal of the American Statistical Association, 69, 364-367.

Notação

TermoDescrição
Vij
ii1, ..., k
j1, ..., ni
mediana

Estatística de teste de Bartlett

O Minitab apresenta uma estatística de teste e um valor de p para o teste de Bartlett. Quando existem apenas dois níveis, o Minitab executa o teste F em vez do teste de Bartlett. Para estes testes, a hipótese nula é que as variâncias são iguais, e a hipótese alternativa é que os desvios não são iguais. Use o teste de Bartlett quando os dados forem provenientes de distribuições normais; o teste de Bartlett não é robusto para desvios da normalidade.

A estatística de teste de Bartlett calcula a média aritmética ponderada e a média geométrica ponderada de cada variância da amostra com base nos graus de liberdade. Quanto maior a diferença nas médias, maior é a probabilidade de variâncias das amostras não serem iguais. B segue uma distribuição χ2 com k – 1 graus de liberdade. Se o valor de p for menor do que o de seu nível de α, rejeite a hipótese nula de que as variâncias são iguais.

Fórmula

Notação

TermoDescrição
Si
knúmero de amostras
vini - 1
ninúmero de observações no io nível de fator

Estatística do teste F

Quando existem apenas dois níveis, o Minitab executa o teste F em vez do teste de Bartlett. A hipótese nula é que as variâncias são iguais, e a hipótese alternativa é que as variâncias não são iguais. Use a estatística F, quando os dados são de distribuições normais.

Se o valor de p for menor que o nível de α, rejeite a hipótese nula de que as variâncias são iguais.

Fórmula

Notação

TermoDescrição
S12variância da amostra 1
S22variância da amostra 2
n1 - 1graus de liberdade do numerador
n2 - 1graus de liberdade do denominador

Desvio padrão (StDev)

Notação

TermoDescrição
yijobservações no io nível de fator
média de observações no io nível de fator
ninúmero de observações no io nível de fator

Intervalos de confiança de Bonferroni

O Minitab calcula intervalos de confiança para os desvios padrão usando o método de Bonferroni. Um intervalo de confiança é uma faixa de valores que tende a incluir algum parâmetro da população, neste caso, contêm o desvio padrão.

Os intervalos de confiança padrão são calculados utilizando-se um nível de confiança de 1 - α / 2. O método de Bonferroni utiliza o nível de confiança de 1 - α / 2p para cada intervalo de confiança individual, em que p é o número de combinações de fatores e de nível. O método garante que o conjunto de intervalos de confiança tem um nível de confiança de pelo menos 1 - α. O método de Bonferroni fornece intervalos de confiança mais conservadores (mais amplos), o que reduz a probabilidade de um erro tipo 1.

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