Métodos para Modelo de efeitos mistos de ajuste

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O modelo de efeitos mistos e o log-verossimilhança

A forma geral do modelo de efeitos mistos

Os modelos de efeito misto contêm efeitos fixos e aleatórios. A forma geral do modelo de efeitos mistos é:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notação

TermoDescrição
yo vetor n x 1 dos valores de resposta
Xa matriz de experimento n x p para os termos de efeito fixo, pn
βum vetor p x 1 de parâmetros desconhecidos
a matriz de experimento n x mi para o termo aleatório no modelo
μium vetor mi x 1 de variáveis de independentes de N(0, )
εum vetor n x 1 de variáveis independentes de N(0, )
no número de observações
po número de parâmetros em
co número de termos aleatórios no modelo

Matriz de variância-covariância

Com base no pressuposto do modelo para a forma geral do modelo de efeitos mistos, o vetor de resposta, y, tem uma distribuição normal multivariada com vetor médio e a seguinte matriz de variância-covariância:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

onde

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c são chamados componentes de variância.

Por fatoração da variância, você pode encontrar uma representação de H(θ), que está no cálculo da log-verossimilhança dos modelos de efeitos mistos.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Notação

TermoDescrição
θi, a razão da variância do termo aleatório sobre a variância do erro

Log-verossimilhança

Quando o modelo contiver um fator aleatório, por padrão, as estimativas de parâmetro desconhecido vêm da minimização em dobro do negativo da função de log-verossimilhança restrita. A minimização é equivalente à maximização da função de log-verossimilhança restrita. O Minitab usa um algoritmo iterativo para minimizar a função de log-verossimilhança restrita. A função para minimizar é:

Notação

TermoDescrição
HIn + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|o determinante de H
H-1o inverso de H
mio número de níveis para o termo aleatório
o erro do componente de variância
Ina matriz de identidade com n linhas e colunas

Estimativa de máxima verossimilhança restrita (REML)

Por padrão, o Minitab calcula estimativas dos parâmetros que maximizam a função de verossimilhança restrita, o que é equivalente a maximizar a seguinte função:
Para minimizar a função, o Minitab diferencia a função com relação a β, σ2 e θi e define os diferenciais iguais a 0:

onde

Rearranjo algébrico das duas primeiras equações para solucionar dos parâmetros estimados no que se refere à diferenciação dada às seguintes equações:
A derivativa com referência a não pode ser resolvida explicitamente para a . O Minitab usa o método de Newton para estimar com as etapas a seguir:
  1. Use a Estimativa Não Viciada de Norma Mínima (MINQUE)12 dos componentes de variância para construir os valores iniciais de σ2 e θi.
  2. Estime β e σ2 com as equações para e .
  3. Encontre θi com o método de Newton para minimizar L(β, σ2, θ).
  4. Repita as etapas 2 e 3 até a convergência.
As soluções convergidas para são as estimativas de razão de variância. O componente de variância para o termo aleatório é como segue:

Notação

TermoDescrição
tr(·)o traço da matriz
X'a transposição do X
1 Rao, C.R. (1971 a). Estimativa de componentes de variância-covariância - teoria MINQUE. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b). Estimativa não viciada de norma mínima dos componentes de variância. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456.
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