Métodos e fórmulas para análise de variância em Ajustar modelo linear generalizado

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Soma de quadrados (SS)

Nos termos da matriz, estas são as fórmulas para as diferentes somas dos quadrados:

O Minitab decompõe o componente Tratamentos SS ou Regressão SS na quantidade de variação explicada por cada termo usando tanto a soma sequencial de quadrados como a soma ajustada de quadrados.

Notação

TermoDescrição
bvetor de coeficientes
Xmatriz do experimento
Yvetor de valores de resposta
nnúmero de observações
Jn por n matriz de 1s

Soma dos quadrados sequencial

O Minitab decompõe a o componente de Regressão SS ou Tratamentos da variância em somas dos quadrados sequenciais para cada fator. As somas dos quadrados sequenciais dependem da ordem dos fatores preditores e são inseridas no modelo. A soma dos quadrados sequencial é a parte única da Regressão SS explicada por um fator, considerando-se todos os fatores inseridos anteriormente.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores ou preditores, X1, X2 e X3, a soma dos quadrados sequencial para X2 mostra quanto da variação restante é explicada por X2, considerando-se que X1 já está no modelo. Para obter uma sequência de fatores diferente, repita a análise e insira os elementos em uma ordem diferente.

Soma dos quadrados ajustada

A soma dos quadrados ajustada não depende da ordem em que os termos são inseridos no modelo. A soma dos quadrados ajustada é a quantidade de variação explicada por um termo, tendo em conta todos os outros termos no modelo, independentemente da ordem em que os termos entram no modelo.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, a soma ajustada dos quadrados para X2 mostra quanto da variação restante do termo para X2 é explicada, considerando-se que os termos para X1 e X3 já estão no modelo.

Os cálculos para as somas dos quadrados ajustado para três fatores são:

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) ou
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

em que SSR(X3 | X1, X2) é a soma dos quadrados ajustada para X3, dado que X1 e X2 estão no modelo.

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) ou
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

em que SSR(X2, X3 | X1) é a soma dos quadrados ajustados para X2 e X3, dado que X1 está no modelo.

Você pode estender estas fórmulas se tiver mais de 3 fatores em seu modelo1.

  1. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Graus de liberdade (DF)

Os graus de liberdade para cada componente do modelo são:

Fontes da variação DF
Fator ki – 1
Covariáveis e interações entre covariáveis 1
Interações que envolvem fatores
Regressão p
Erro n p – 1
Total n – 1

Se os seus dados satisfizerem a determinados critérios e o modelo incluir pelo menos um preditor contínuo ou mais de um preditor categórico, o Minitab usa alguns graus de liberdade para o teste de ajuste (lack-of-fit). Os critérios são os seguintes:
  • Os dados contêm várias observações com os mesmos valores de preditor.
  • Os dados contêm os pontos corretos para estimar termos adicionais que não estão no modelo.

Notação

TermoDescrição
kinúmero de níveis no io fator
mnúmero de fatores
n número de observações
p número de coeficientes no modelo, sem contar com a constante

MS Ajust – Regressão

A fórmula para o Quadrado Médio (MS) da regressão é:

Notação

TermoDescrição
resposta média
ia resposta ajustada
po número de termos no modelo

MS Aj – Erro

O quadrado médio do erro (também abreviado como MS Erro ou MSE e denotado como s2) é a variação em torno da linha de regressão ajustada. A fórmula é:

Notação

TermoDescrição
yi i o valor de resposta observada
ia resposta ajustada
nnúmero de observações
pnúmero de coeficientes no modelo, sem contar com a constante

F

Se todos os elementos no modelo forem fixos, então o cálculo de estatística de F depende do que trata teste de hipótese, como se segue:

F(Termo)
F(teste de ajuste - Lack-of-fit)

Se houver fatores aleatórios no modelo, F é construído utilizando os dados de quadrado médio esperado para cada termo. Para obter mais informações, consulte Neter et al.1.

Notação

TermoDescrição
Adj MS TermA measure of the amount of variation that a term explains after accounting for the other terms in the model.
MS ErrorA measure of the variation that the model does not explain.
MS Lack-of-fitA measure of variation in the response that could be modeled by adding more terms to the model.
MS Pure errorA measure of the variation in replicated response data.
  1. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Valor-p – Tabela Análise de Variância

O valor-p é a probabilidade que é calculada a partir de uma distribuição-f com graus de liberdade (DF) como a seguir:

DF do numerador
soma dos graus de liberdade para o termo ou os termos do teste
DF do denominador
graus de liberdade para erro

Fórmula

1 − P(Ffj)

Notação

TermoDescrição
P(Ff)função de distribuição acumulada para a distribuição F
festatística F de teste

Teste de ajuste (lack-of-fit) de erro puro

Para calcular o teste de ajuste (lack-of-fit) de erro puro, o Minitab calcula:
  1. A soma dos desvios quadrados da resposta da média dentro de cada conjunto de replicações adiciona-os juntos para criar a soma dos quadrados do erro puro (SS PE).
  2. O quadrado médio do erro puro

    onde n = número de observações e m = número de combinações de nível x distintas

  3. A soma dos quadrados do teste de ajuste (lack-of-fit)
  4. O quadrado médio do teste de ajuste (lack-of-fit)
  5. A estatística de teste

Valores de F altos e valores de p baixos sugerem que o modelo é inadequado.

Valor-p – teste de ajuste (lack-of-fit)

Este valor-p é para o teste da hipótese nula de que os coeficientes são 0 por quaisquer termos que sejam possíveis de serem estimados a partir destes dados que não estão no modelo. O valor-p é a probabilidade de uma distribuição F com graus de liberdade (DF) como a seguir:
DF do numerador
graus de liberdade do teste de ajuste (lack-of-fit)
DF do denominador
graus de liberdade para erro puro

Fórmula

1 − P(Ffj)

Notação

TermoDescrição
P(Ffj)função de distribuição acumulada para a distribuição F
fjestatística F de teste
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