중심 극한 정리 시연

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중심 극한 정리에 따르면 유한 평균이 mu(y)이고 표준 편차가 sigma(y)인 모집단에서 크기 n의 랜덤 표본을 반복 추출하면, 표본 평균의 분포가 대략 평균이 mu(y)와 같고 표준 편차가 (sigma(y))/sqrt(n)와 같은 정규 분포를 따릅니다.

다음 실험을 통해 중심 극한 정리의 효과를 조사해 보겠습니다. 주사위를 1000번 던진다고 가정합니다. 1, 2, ...가 동일한 개수만큼 나올 것이라고 예상됩니다. 1000번 던지기의 분포를 조사해 보겠습니다. 이 결과는 그래프 1에 표시되어 있습니다.

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이제 주사위를 두 번 던지고 두 번 던지기의 평균을 취한다고 가정합니다. 이 실험도 1000번 반복합니다. 두 번 던지기 평균의 분포가 어떤 모양인지 알아보겠습니다. 이 결과는 그래프 2에 표시되어 있습니다.

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두 번의 던지기만으로 이미 평균의 분포가 작은 언덕 모양이라는 것을 아셨습니까 이제 주사위를 세 번 던지고 세 번 던지기의 평균을 취한다고 가정합니다. 이 실험도 1000번 반복합니다. 이 실험이 평균에 어떤 영향을 미치는지 알아보겠습니다. 이 결과는 그래프 3에 표시되어 있습니다.

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이 경우에도 분포 모양이 정규 분포 모양에 아주 가깝습니다. 분포에 어떤 다른 일이 일어났는지 아셨습니까?

주사위를 다섯 번 던지고 평균을 취하겠습니다. 이 실험도 1000번 반복합니다. 이 결과는 그래프 4에 표시되어 있습니다.

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그래프에서 어떤 패턴을 확인하셨습니까?

계속해서 던지기 횟수를 늘리고 평균을 취하겠습니다. 이번에는 주사위를 10번 던지고 10번 던지기의 평균을 취합니다. 이 결과는 그래프 5에 표시되어 있습니다.

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던지기 횟수를 늘리면 두 가지 현상이 나타납니다. 첫째, 평균 분포의 모양이 실제로 정규 분포의 모양을 따르기 시작합니다. 둘째, 던지기 횟수가 증가함에 따라 분포가 더욱 좁아집니다. 던지기 횟수를 계속 늘려 보겠습니다. 이번에는 주사위를 20번 던집니다. 이 결과는 그래프 6에 표시되어 있습니다.

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이제 표본 크기의 증가가 표본 평균의 분포에 미치는 영향을 어느 정도 알 수 있습니다. 표본 크기를 증가시켜 이를 확실하게 확인해 보겠습니다. 이번에는 주사위를 30번 던집니다. 이 결과는 그래프 7에 표시되어 있습니다.

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표시된 결과를 검토해 보겠습니다.

2, 5, 10, 20, 30 크기의 표본에 대한 히스토그램을 하나의 그래프에 함께 그리고 분포의 변화를 확인합니다.

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중심 극한 정리는 지금까지의 결과를 이론적으로 설명합니다. 이 설명을 실제 결과와 비교해 보겠습니다.

이론적 결과 관측된 결과 ------------------- ---------------- 표본 표준 편차 크기 평균 편차 평균 편차 ------ ---- --------- ----- --------- 1 3.5 1.707825 3.453 1.7041 2 3.5 1.207615 3.527 1.2320 3 3.5 0.986013 3.546 0.9503 5 3.5 0.763763 3.481 0.7532 10 3.5 0.540062 3.506 0.5289 20 3.5 0.381879 3.510 0.3891 30 3.5 0.311805 3.507 0.3148