1-표본 부호 검정에 대한 방법 및 공식

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정확한 방법에 대한 p-값
정규 근사 방법에 대한 p-값
신뢰 구간

정확한 방법에 대한 p-값

Minitab에서는 이항 분포를 사용하여 50개 이하의 표본(n ≤ 50)에 대한 p-값을 계산합니다. 귀무 가설 하에서 표본 크기 n(귀무 가설에서의 중위수 값과 같은 관측치를 제외한 후) 및 발생 확률 p = 0.5에 대해 p-값은 대립 가설에 따라 다르게 계산됩니다.

대립 가설	p-값
H₁: 중위수 > 귀무 가설에서의 중위수
H₁: 중위수 < 귀무 가설에서의 중위수
H₁: 중위수 ≠ 귀무 가설에서의 중위수

표기법

용어	설명
n	귀무 가설에서의 중위수 값과 같은 관측치를 제외한 후 관측된 데이터 점의 수
s	귀무 가설에서의 중위수보다 큰 관측된 데이터 점의 수
S	시행 횟수가 n이고 사건 확률이 0.5인 이항 분포 B(n, 0.5)를 따르는 랜덤 변수
k

정규 근사 방법에 대한 p-값

Minitab에서는 이항 분포에 대한 정규 근사를 사용하여 50개 이상의 표본(n > 50)에 대한 p-값을 계산합니다. 구체적으로, 다음과 같습니다.

는 근사적으로 평균이 0이고 표준 편차가 1인 정규 분포 N(0,1)을 따릅니다.

여기서 중위수보다 큰 관측치의 수 S는 귀무 가설 하에서 시행 횟수 n, 성공 확률 p = 0.5인 이항 분포 B(n, 0.5)를 따릅니다.

세 대립 가설의 정규 근사 p-값은 0.5의 연속성 수정을 사용합니다.

대립 가설	p-값
H₁: 중위수 > 귀무 가설에서의 중위수
H₁: 중위수 < 귀무 가설에서의 중위수
H₁: 중위수 ≠ 귀무 가설에서의 중위수

표기법

용어	설명
n	귀무 가설에서의 중위수 값과 같은 관측치를 제외한 후 관측된 데이터 점의 수
s	귀무 가설에서의 중위수보다 큰 관측된 데이터 점의 수
S	시행 횟수가 n이고 성공 확률이 p = 0.5인 이항 분포 B(n, 0.5)를 따르는 랜덤 변수
k

신뢰 구간

부호 검정 통계량이 이산형이기 때문에 1-표본 부호 검정이 신뢰 구간을 달성하지 못하는 경우도 있습니다. 이 때문에 Minitab에서는 여러 정밀도 수준을 사용하여 3개의 신뢰 구간을 계산합니다.

절차

Minitab에서는 X₍₁₎< X₍₂₎< ... < X₍_n₎의 순서로 관측치를 정렬합니다. 여기서 X₍_i₎는 i번째로 작은 관측치입니다.
지정된 신뢰 수준(γ)에 대해 첫 번째 구간은 신뢰 수준 ≤ γ인 가장 가까운 정확한 구간입니다. 세 번째 구간은 신뢰 수준 ≥ γ인 가장 가까운 정확한 구간입니다. d를 다음과 같은 최대 정수로 지정합니다.
- P (B < d) < (1 – γ) / 2.
B는 모수 표본 크기가 n이고 발생 확률 p = 0.5인 이항 분포를 따릅니다.
첫 번째 구간은 X_{(d + 1)}에서 X_{(n – d)}까지이고, 세 번째 구간은 X_{(d )}에서 X_{(n – d + 1)}까지입니다.
Minitab에서는 Hettmansperger and Sheather¹가 개발한 비선형 보간(NLI) 절차를 사용하여 가운데 구간을 계산합니다. γ_{d + 1}을 첫 번째 구간의 신뢰 수준 γ_d를 세 번째 구간의 신뢰 수준으로 지정합니다.

보간 구간의 하한점은 다음과 같이 계산됩니다.
- X_(d) + λ (X_{(d + 1)}– X_(d))
상한점은 다음과 같이 계산됩니다.
- X_{(n – d + 1)}– λ (X_{(n – d + 1)}– X_{(n – d)})

¹ T.P. Hettmansperger and S.J. Sheather (1986). "Confidence Intervals Based on Interpolated Order Statistics," Statistics and Probability Letters, 4(2), 75-79.