단일 표본 분산 검정에 대한 방법 및 공식

표준 편차는 산포, 즉 데이터가 평균을 중심으로 퍼져 있는 정도를 나타내는 가장 일반적인 측도입니다. 표본 표준 편차는 표본 분산의 제곱근입니다.

열에 x₁, x₂,..., x_N이 포함되어 있고 평균이 인 경우 표준 편차는 다음과 같이 계산됩니다.

표기법

용어	설명
xi	표본의 i번째 관측치
	표본 평균
S	표본 표준 편차
n	표본 크기

분산은 데이터가 평균 주위에 분산된 정도를 측정합니다. 분산은 표준 편차의 제곱과 같습니다.

공식

표기법

용어	설명
xi	i번째 관측치
	관측치의 평균
N	비결측 관측치 수

신뢰 구간

모집단 표준 편차에 대한 100(1 - α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

모집단 분산에 대한 100(1 - α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

신뢰 한계

단측 검정을 지정하는 경우 Minitab에서는 대립 가설의 방향에 따라 단측 100(1–α)% 신뢰 한계를 계산합니다.

• "보다 큼" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 100(1–α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

  모집단 분산에 대한 100(1–α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

• "보다 작음" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 100(1–α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

  모집단 분산에 대한 100(1–α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

표기법

계량형 데이터(정규 또는 비정규)의 경우 이 방법을 사용합니다. ¹

신뢰 구간

모집단 표준 편차에 대한 100(1-α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

모집단 분산에 대한 100(1-α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

신뢰 한계

단측 검정을 지정하는 경우 Minitab에서는 대립 가설의 방향에 따라 단측 100(1–α)% 신뢰 한계를 계산합니다.

• "보다 큼" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 100(1–α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

  모집단 분산에 대한 근사 100(1-α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

• "보다 작음" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 근사 100(1–α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

  모집단 분산에 대한 근사 100(1-α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

  

표기법

용어	설명
α	1 – 신뢰 수준 / 100
cα/2	n / (n – zα/2)
cα	n / (n – zα )
s2	표본 분산의 관측치
zα/2	1 – α/2에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률. n이 zα/2보다 작거나 같은 경우 Minitab에서는 Bonett 신뢰 구간을 계산하지 않습니다.
zα	1 – α에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률. n이 zα보다 작거나 같은 경우 Minitab에서는 Bonett 신뢰 구간을 계산하지 않습니다.
se
	= 추정 초과 첨도
m	절사 비율이 다음과 같은 절사 평균 ; n이 5보다 작거나 같은 경우 m = 표본 평균
σ	실제 모집단 표준 편차 값
σ2	실제 모집단 분산 값

공식

가설 검정은 각 대립 가설에 대해 다음과 같은 p-값 방정식을 사용합니다.

H₁: σ² > σ₀²: p-값 = P(Χ² ≥ x²)

H₁: σ² < σ₀²: p-값 = P(Χ² ≤ x²)

H₁: σ² ≠ σ₀²: p-값 = 2 × min{P(Χ² ≤ x²), P(Χ² ≥ x²)}

표기법

용어	설명
σ2	실제 모집단 분산 값
σ02	귀무 가설에서의 모집단 분산 값
Χ2	σ2 = σ02일 때 자유도가 (n – 1)인 카이-제곱 분포를 따릅니다.
x2	용어 설명 S2 표본 분산의 관측치 n 표본 크기

공식

Bonett 절차는 검정 통계량과 연관성이 없습니다. 그러나 Minitab에서는 신뢰 구간에 의해 정의된 기각 영역을 사용하여 p-값을 계산합니다.

양측 가설의 경우 p-값은 다음과 같이 계산됩니다.

p = 2 × min(α_L, α_U)

• 단측 "보다 작음" 대립 가설의 경우 p-값은 표기법에서 α/2를 α로 대치한 후 α_U로 계산됩니다.
• 단측 "보다 큼" 대립 가설이 경우 p-값은 표기법에서 α/2를 α로 대치한 후 α_L로 계산됩니다.

표기법

용어	설명
σ02	귀무 가설에서의 분산
αL	다음 방정식의 가장 작은 해 α
αU	다음 방정식의 가장 작은 해 α
cα/2	n / (n – zα/2)
α	1 – 신뢰 수준 / 100
s2	표본 분산의 관측치
zα/2	1 – α/2에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률. n이 zα/2보다 작거나 같은 경우 Minitab에서는 Bonett 신뢰 구간을 계산하지 않습니다.
se	용어 설명 = 추정 초과 첨도 m 절사 비율이 다음과 같은 절사 평균 ; n이 5보다 작거나 같은 경우 m = 0