단일 비율 검정에 대한 방법 및 공식

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수정된 Blaker 정확한 신뢰 구간 및 검정 방법

수정된 Blaker 정확 방법은 사건 비율에 대한 양측 신뢰 구간을 생성하고 pp0의 대립 가설에 대한 p -값을 생성합니다. Blaker12 는 정확 검정의 p-값 함수를 반전하여 정확한 양측 신뢰 구간을 제공합니다. Clopper-Pearson 구간은 더 넓으며 항상 Blaker 신뢰 구간을 포함합니다. Blaker 정확 방법의 구간은 내포되어 있습니다. 이 속성은 신뢰 수준이 높은 신뢰 구간에 신뢰 수준이 낮은 신뢰 구간이 포함된다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 정확한 양측 Blaker 95% 신뢰 구간에는 해당하는 90% 신뢰 구간이 포함됩니다.

Blaker의 원래 정확한 방법에는 2가지 제한 사항이 있습니다. 한 가지 제한 사항은 신뢰 구간을 계산하는 수치 알고리즘이 느리다는 점이며, 특히 표본 크기가 클 때는 더욱 그렇습니다. 또 다른 제한 사항은 일부 데이터의 경우 원래 Blaker 정확 방법이 p-값이 신뢰 수준에 해당하는 유의 수준보다 작을 때 귀무 가설에서의 비율을 포함하는 구간을 생성한다는 것입니다. 또한 신뢰 구간에 귀무 가설에서의 비율이 포함되지 않은 경우에도 p-값이 신뢰 수준에 해당하는 유의 수준보다 큽니다.

이러한 한계를 극복하기 위해 Minitab Statistical Software의 분석에서는 Klaschka 및 Reiczigel의 알고리즘을 사용하여 신뢰 구간과 p-값을 생성합니다.3 이 방법의 이름은 수정된 Blaker 정확 방법입니다. 이 수치 알고리즘은 계산 속도가 더 빠르며 일반적으로 일치하는 신뢰 구간과 검정을 생성합니다. 수정된 Blaker 신뢰 구간도 정확하며 내포되어 있습니다.

보다 작거나 큰 대립 가설의 경우 분석에서는 Clopper-Pearson 정확 방법을 사용합니다.

Clopper-Pearson 정확한 신뢰 구간 방법

구간 (PL, PU)는 p의 양측 100(1 – α)% 신뢰 구간입니다. 표본에 사건이 없는 경우 하한은 0입니다. 표본에 사건만 있는 경우 상한은 1입니다.

하한

수식

표기법

용어설명
v12x
v22(nx + 1)
x사건 발생 횟수
n시행 횟수
F자유도가 v1v2인 F 분포의 하위 α/2 점

상한

수식

표기법

용어설명
v12(x + 1)
v22(nx)
x사건 발생 횟수
n시행 횟수
F자유도가 v1v2인 F 분포의 상위 α/2 점

Clopper-Pearson 정확 신뢰 구간에 해당하는 검정

수식

표본(X)은 모수가 np인 이항 분포에서 가져옵니다. p-값은 대립 가설에 따라 달라집니다.
Hi: pp0
p-값 =
Hi: p > p0
p-값 = P{ Xx | p = po}
Hi: p < p0
p-값 = P{ Xx | p = po}

표기법

용어설명
p0귀무 가설에서의 비율
n시행 횟수
p사건 확률
x사건 발생 횟수

Wilson-score 신뢰 구간 방법

윌슨4 Minitab Statistical Software에서 Wilson-score 신뢰 구간으로 명명한 신뢰 구간을 얻기 위해 점수 검정을 반전합니다. 윌슨 점수 구간에는 연속성 수정이 없는 형식과 연속성 수정이 있는 형식의 두 가지 형식이 있습니다. 수정이 없는 구간의 범위가 명목 신뢰 수준보다 낮은 경우가 있습니다. 수정이 있는 구간의 실제 신뢰 수준은 적어도 명목 신뢰 수준입니다. 두 방법 모두 표본에 사건이 없는 경우 하한은 0입니다. 표본에 사건만 있는 경우 상한은 1입니다.

연속성 보정이 없는 간격

양측 100(1 – α)% 신뢰 구간의 공식은 다음과 같습니다.

단측 100(1 – α)% 하한의 공식은 다음과 같습니다.
단측 100(1 – α)% 상한의 공식은 다음과 같습니다.

연속성 보정이 있는 간격

양측 100(1 – α)% 구간의 하한은 다음과 같은 공식을 갖습니다.

양측 100(1 – α)% 구간의 상한은 다음과 같은 공식을 갖습니다.

단측 100(1 – α)% 하한의 공식은 다음과 같습니다.

단측 100(1 – α)% 상한의 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
관측된 확률, = x / n
x사건 발생 횟수
n시행 횟수
zγγ에서 표준 정규 분포의 상위 백분위수 점
α1 – 신뢰 수준/100

점수 테스트

연속성 보정이 없는 방법

Wilson-score 신뢰 구간 및 정규 근사 방법(웹 앱)에 해당하는 테스트는 잘 알려진 점수 테스트입니다. 점수 검정 통계량에는 다음과 같은 수식이 있습니다.

검정에 대한 p-값은 대립 가설에 따라 달라집니다.
Ha: pp0
p-값 =
Ha: p > p0
p-값 =
Ha: p < p0
p-값 =

연속성 보정이 있는 방법

연속성 수정이 있는 절차에 대한 검정 통계량과 p-값은 대립 가설에 따라 달라집니다.

Ha: pp0
p-값 =
Ha: p > p0
p-값 =
Ha: p < p0
p-값 =

표기법

용어설명
관측된 확률 x/n
x사건 발생 횟수
n시행 횟수
p0귀무 가설에서의 비율
y에서의 표준 정규 분포의 누적 분포 함수

Agresti-Coull 신뢰 구간 및 검정 방법

신뢰 구간

Agresti와 Coull5 은 커버리지 속성을 개선하는 신뢰 구간에 대한 Wald 방법에 대한 조정을 제공합니다. 양측 95% 신뢰 구간의 경우 조정은 약 2개의 사건과 2개의 비사건을 추가한 다음 Wald 신뢰 구간 공식에 대한 공식에서 신뢰 구간을 계산합니다. 표본에 사건이 없는 경우 하한은 0입니다. 표본에 사건만 있는 경우 상한은 1입니다.

양측 100(1 – α)% 구간의 공식은 다음과 같습니다.

설명

단측 100(1 – α)% 하한의 공식은 다음과 같습니다.

단측 100(1 – α)% 상한의 공식은 다음과 같습니다.

단측 한계의 경우 의 정의에서 :

Agresti-Coull 구간에 해당하는 검정

분석에서는 신뢰 구간 절차를 반전하여 검정에 대한 p-값을 계산합니다.

표기법

용어설명
x사건 발생 횟수
n시행 횟수
zγ γ에서 표준 정규 분포의 상위 백분위수 점
α1 – 신뢰 수준/100

Wald 정규 근사에 대한 신뢰 구간(웹앱)

수식

표기법

용어설명
관측된 확률, = x / n
xn번의 시행에서 관측된 사건 수
n시행 횟수
zα/21 – α/2에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률.
α1 – 신뢰 수준/100
1 Blaker, H. (2000). "Confidence curves and improved exact confidence intervals for discrete distributions." The Canadian Journal of Statistics, 29, 783–798.
2 Blaker, H. (2001). "Corrigenda: Confidence curves and improved exact confidence intervals for discrete distributions." The Canadian Journal of Statistics, 29, 681.
3 Klaschka, J. and Reiczigel, J. (2021). "On matching confidence intervals and tests for some discrete distributions: Methodological and computational aspects," Computational Statistics, 36, 1775–1790.
4 Wilson, E. B. (1927). "Probable inference, the law of successions and statistical inference." Journal of the American Statistical Association, 22, 209–212.
5 Agresti, A. and Coull, B. A. (1998). "Approximate is better than 'exact' for interval estimation of binomial proportions. The American Statistician, 52:2, 119–126.