Winters의 방법에 대한 방법 및 공식

승법

공식

승법 모형은 다음과 같습니다.

L_t = α (Y_t / S_t–p) + (1 – α) [L_t–1 + T_t–1]
T_t = γ [L_t – L_t–1] + (1 – γ) T_t–1
S_t = δ (Y_t / L_t) + (1 – δ) S_t–p
= (L_t–1 + T_t–1) S_t–p

표기법

용어	설명
L_t	시간 t에서의 수준, α는 수준 성분에 대한 가중치
T_t	시간 t에서의 추세,
γ	추세에 대한 가중치
S_t	시간 t에서의 계절 성분
δ	계절 성분에 대한 가중치
p	계절 기간
Y_t	시간 t에서의 데이터 값
	시간 t에서의 적합치 또는 한 주기 전 예측값

가법 모형의 수준 및 추세에 대한 초기 값을 계산하는 방법

다음 방법은 계절 길이가 4보다 큰 것으로 가정합니다.

데이터의 평균, 최소 및 최대값을 찾습니다. 이 예의 경우:
- 평균 = 554.208
- 최소 = 1
- 최대 = 1498.47
데이터의 각 행에 대해 다음을 계산합니다.
N이 계절 길이와 동일한 것으로 간주합니다. 이 예의 경우 N = 12입니다.
첫 번째 N "임시 값"(2단계에서 계산)을 Y 변수로 사용하고 1~N의 벡터를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 따라서, 이 예의 경우:
Y X

4104.36 1

4104.36 2

4630.36 3

4922.80 4

4822.40 5

5601.83 6

4891.77 7

4604.44 8

4411.26 9

4123.66 10

4104.36 11

4104.36 12

회귀 선의 기울기는 추세의 초기 값입니다.
다음을 빼서 회귀 선의 절편을 조정합니다.

Y	X
4104.36	1
4104.36	2
4630.36	3
4922.80	4
4822.40	5
5601.83	6
4891.77	7
4604.44	8
4411.26	9
4123.66	10
4104.36	11
4104.36	12

데이터의 절편은 4705.24입니다. 절편에서 4103.36을 빼면 601.879의 조정된 절편이 나옵니다. 이 조정된 절편은 수준에 대한 초기 값입니다.

가법

공식

가법 모형은 다음과 같습니다.

L_t = α (Y_t – S_t–p) + (1 – α) [L_t–1 + T_t–1]
T_t = γ [L_t – L_t–1] + (1 – γ) T_t–1
S_t = δ (Y_t – L_t) + (1 – δ) S_t–p
= L_t–1 + T_t–1 + S_t–p

표기법

용어	설명
L_t	시간 t에서의 수준, α는 수준 성분에 대한 가중치
T_t	시간 t에서의 추세,
γ	추세에 대한 가중치
S_t	시간 t에서의 계절 성분
δ	계절 성분에 대한 가중치
p	계절 기간
Y_t	시간 t에서의 데이터 값
	시간 t에서의 적합치 또는 한 주기 전 예측값

가법 모형의 수준 및 추세에 대한 초기 값을 계산하는 방법

다음 방법은 계절 길이가 4보다 큰 것으로 가정합니다.

N이 계절 길이와 동일한 것으로 간주합니다. 이 예의 경우 N = 12입니다.
첫 번째 N 데이터 값을 Y 변수로 사용하고 1~N의 벡터를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 따라서, 이 예의 경우:
Y X

1.00 1

1.00 2

527.00 3

819.45 4

719.04 5

1498.47 6

788.42 7

501.08 8

307.90 9

20.30 10

1.00 11

1.00 12

회귀 선의 기울기는 추세의 초기 값입니다. 회귀 선의 절편은 수준의 초기 값입니다.

가법 모형의 계절 지수에 대한 초기 값을 계산하는 방법

다음 방법은 계절 길이가 4보다 큰 것으로 가정합니다.

데이터 값을 Y 변수로 사용하고 1에서 24의 벡터를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 따라서, 이 예의 경우:

Y	X
1.00	1
1.00	2
527.00	3
819.45	4
719.04	5
1498.47	6
788.42	7
501.08	8
307.90	9
20.30	10
1.00	11
1.00	12
83.00	13
668.21	14
1121.28	15
1386.84	16
1031.18	17
988.60	18
1380.30	19
1005.97	20
233.69	21
211.87	22
2.00	23
2.40	24

다음 단계에서 이 회귀 모델의 잔차 사용

잔차를 Y 변수로 사용하고 12개의 지시 변수(z.1~z.12)를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 회귀 모델을 절편(상수) 용어 없이 맞춥니다. 따라서, 이 예의 경우:

잔차	z.1	z.2	z.3	z.4	z.5	z.6	z.7	z.8	z.9	z.10	z.11	z.12
-508.261	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
-512.170	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9.926	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
298.460	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
194.145	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
969.667	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
255.705	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
-35.538	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
-232.625	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
-524.137	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
-547.346	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
-551.254	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
-473.161	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
108.141	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
557.303	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
818.952	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
459.378	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
412.890	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
800.684	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
422.451	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
-353.739	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
-379.468	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
-593.247	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0

이 회귀 모델의 계수는 계절 지수의 초기 값입니다. 계수는 다음과 같습니다.

기간	COEF1
1	-490.711
2	-202.014
3	283.615
4	558.706
5	326.762
6	691.278
7	528.195
8	193.456
9	-293.182
10	-451.803
11	-570.297
12	-574.005

참고

지시 변수 z.1에서 z.12까지는 각 데이터 포인트가 속한 기간의 달을 나타냅니다. 예를 들어 변수 z.1은 해당 기간의 첫 달에 대해 1과 같으며 그렇지 않으면 0과 같습니다.

모형 적합

Winters의 방법은 각 기간에서의 수준 성분, 추세 성분 및 계절 성분을 사용합니다. 또한 세 개의 가중치 또는 평활화 모수를 사용하여 각 기간의 성분을 업데이트합니다. 수준 및 추세 성분의 초기 값은 시간에 대한 선형 회귀 분석을 통해 얻습니다. 계절 성분의 초기 값은 추세 제거된 데이터를 사용하는 더미 변수 회귀 분석을 통해 얻습니다.

예측

Winters의 방법에서는 수준, 추세 및 계절 성분을 사용하여 예측값을 생성합니다. Winters의 방법에서는 또한 예측시점 시간까지의 데이터를 사용하여 예측값을 생성합니다.

공식

시간 t인 지점에서 m기간 이후에 대한 예측값은 다음과 같이 계산됩니다.

승법: (L_t + mT_t) * S_t + m −p
가법: L_t + mT_t +S_t + m −p

표기법

용어	설명
L_t	수준
T_t	시간 t에서의 추세 성분

용어	설명
S_t + m −p	지난 해 같은 기간의 계절 성분

예측 구간

각 예측에 대해 분석은 예측 구간을 생성합니다.

수식

이 공식은 다음 정의를 사용합니다.

의 계산

모델이 가산인지 곱셈인지에 따라 다릅니다.

가법
승법

표기법

용어	설명
	시간 t + m의 예보
t	예측의 기원
m	예측 지수(예: 첫 번째 예측의 경우 1)
	1-α /2에서 표준 정규 분포의 역누적 확률; α = 신뢰 수준/100
θ	평활 상수, 알파(수준), 감마(추세) 및 델타(계절)의 최대값
ν	1 – θ
	시간 t에서 시계열의 관측값
	시간 t이전의 하나의 전체 계절 주기의 계절 구성 요소
	시간 t – 1에 대한 레벨 구성 요소
	시간 t – 1에 대한 추세 성분
T	계절 구성 요소, 수준 구성 요소 및 추세 구성 요소가 모두 존재하는 계열의 데이터 값 수