Winters의 방법에 대한 방법 및 공식

공식

승법 모형은 다음과 같습니다.

• L_t = α (Y_t / S_t–p) + (1 – α) [L_t–1 + T_t–1]
• T_t = γ [L_t – L_t–1] + (1 – γ) T_t–1
• S_t = δ (Y_t / L_t) + (1 – δ) S_t–p
• = (L_t–1 + T_t–1) S_t–p

표기법

용어	설명
Lt	시간 t에서의 수준, α는 수준 성분에 대한 가중치
Tt	시간 t에서의 추세,
γ	추세에 대한 가중치
St	시간 t에서의 계절 성분
δ	계절 성분에 대한 가중치
p	계절 기간
Yt	시간 t에서의 데이터 값
	시간 t에서의 적합치 또는 한 주기 전 예측값

가법 모형의 수준 및 추세에 대한 초기 값을 계산하는 방법

다음 방법은 계절 길이가 4보다 큰 것으로 가정합니다.

1. 데이터의 평균, 최소 및 최대값을 찾습니다. 이 예의 경우:
   • 평균 = 554.208
   • 최소 = 1
   • 최대 = 1498.47
2. 데이터의 각 행에 대해 다음을 계산합니다.
3. N이 계절 길이와 동일한 것으로 간주합니다. 이 예의 경우 N = 12입니다.
4. 첫 번째 N "임시 값"(2단계에서 계산)을 Y 변수로 사용하고 1~N의 벡터를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 따라서, 이 예의 경우:

   Y	X
   4104.36	1
   4104.36	2
   4630.36	3
   4922.80	4
   4822.40	5
   5601.83	6
   4891.77	7
   4604.44	8
   4411.26	9
   4123.66	10
   4104.36	11
   4104.36	12

   회귀 선의 기울기는 추세의 초기 값입니다.

5. 다음을 빼서 회귀 선의 절편을 조정합니다.

데이터의 절편은 4705.24입니다. 절편에서 4103.36을 빼면 601.879의 조정된 절편이 나옵니다. 이 조정된 절편은 수준에 대한 초기 값입니다.

공식

표기법

용어	설명
Lt	시간 t에서의 수준, α는 수준 성분에 대한 가중치
Tt	시간 t에서의 추세,
γ	추세에 대한 가중치
St	시간 t에서의 계절 성분
δ	계절 성분에 대한 가중치
p	계절 기간
Yt	시간 t에서의 데이터 값
	시간 t에서의 적합치 또는 한 주기 전 예측값

가법 모형의 수준 및 추세에 대한 초기 값을 계산하는 방법

다음 방법은 계절 길이가 4보다 큰 것으로 가정합니다.

1. N이 계절 길이와 동일한 것으로 간주합니다. 이 예의 경우 N = 12입니다.
2. 첫 번째 N 데이터 값을 Y 변수로 사용하고 1~N의 벡터를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 따라서, 이 예의 경우:

   Y	X
   1.00	1
   1.00	2
   527.00	3
   819.45	4
   719.04	5
   1498.47	6
   788.42	7
   501.08	8
   307.90	9
   20.30	10
   1.00	11
   1.00	12

   회귀 선의 기울기는 추세의 초기 값입니다. 회귀 선의 절편은 수준의 초기 값입니다.

가법 모형의 계절 지수에 대한 초기 값을 계산하는 방법

다음 방법은 계절 길이가 4보다 큰 것으로 가정합니다.

1. 데이터 값을 Y 변수로 사용하고 1에서 24의 벡터를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 따라서, 이 예의 경우:

   Y	X
   1.00	1
   1.00	2
   527.00	3
   819.45	4
   719.04	5
   1498.47	6
   788.42	7
   501.08	8
   307.90	9
   20.30	10
   1.00	11
   1.00	12
   83.00	13
   668.21	14
   1121.28	15
   1386.84	16
   1031.18	17
   988.60	18
   1380.30	19
   1005.97	20
   233.69	21
   211.87	22
   2.00	23
   2.40	24

   다음 단계에서 이 회귀 모델의 잔차 사용

2. 잔차를 Y 변수로 사용하고 12개의 지시 변수(z.1~z.12)를 X 변수로 사용하여 회귀를 실행합니다. 회귀 모델을 절편(상수) 용어 없이 맞춥니다. 따라서, 이 예의 경우:

   잔차	z.1	z.2	z.3	z.4	z.5	z.6	z.7	z.8	z.9	z.10	z.11	z.12
   -508.261	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   -512.170	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   9.926	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   298.460	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
   194.145	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
   969.667	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
   255.705	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
   -35.538	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
   -232.625	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
   -524.137	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
   -547.346	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
   -551.254	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
   -473.161	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   108.141	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   557.303	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   818.952	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
   459.378	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
   412.890	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
   800.684	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
   422.451	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
   -353.739	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
   -379.468	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
   -593.247	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0

   이 회귀 모델의 계수는 계절 지수의 초기 값입니다. 계수는 다음과 같습니다.

   기간	COEF1
   1	-490.711
   2	-202.014
   3	283.615
   4	558.706
   5	326.762
   6	691.278
   7	528.195
   8	193.456
   9	-293.182
   10	-451.803
   11	-570.297
   12	-574.005

   참고

   지시 변수 z.1에서 z.12까지는 각 데이터 포인트가 속한 기간의 달을 나타냅니다. 예를 들어 변수 z.1은 해당 기간의 첫 달에 대해 1과 같으며 그렇지 않으면 0과 같습니다.

Winters의 방법은 각 기간에서의 수준 성분, 추세 성분 및 계절 성분을 사용합니다. 또한 세 개의 가중치 또는 평활화 모수를 사용하여 각 기간의 성분을 업데이트합니다. 수준 및 추세 성분의 초기 값은 시간에 대한 선형 회귀 분석을 통해 얻습니다. 계절 성분의 초기 값은 추세 제거된 데이터를 사용하는 더미 변수 회귀 분석을 통해 얻습니다.

Winters의 방법에서는 수준, 추세 및 계절 성분을 사용하여 예측값을 생성합니다. Winters의 방법에서는 또한 예측시점 시간까지의 데이터를 사용하여 예측값을 생성합니다.

공식

표기법

평균 절대 백분율 오차(MAPE)는 적합된 시계열 값의 정확도를 측정합니다. MAPE는 정확도를 백분율로 표시합니다.

공식

표기법

용어	설명
yt	시간 t에서의 실제 값
	적합치
n	관측치 수

평균 절대 편차(MAD)는 적합된 시계열 값의 정확도를 측정합니다. MAD는 데이터와 같은 단위로 정확도를 표시하여 오차의 양을 개념화하는 데 사용됩니다.

공식

표기법

용어	설명
yt	시간 t에서의 실제 값
	적합치
n	관측치 수

평균 제곱 편차(MSD)는 모형에 관계없이 항상 동일한 분모 n을 사용하여 계산됩니다. MSD는 매우 큰 예측 오차에 대해 MAD보다 더 민감한 측도입니다.

공식

표기법

용어	설명
yt	시간 t에서의 실제 값
	적합치
n	관측치 수